數(shù)學(xué)實驗探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué)　許　宏

數(shù)學(xué)實驗探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區(qū)春申中學(xué)許宏

幾何直觀是新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念之一，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略，而數(shù)學(xué)實驗則是培養(yǎng)幾何直觀能力的有效載體與途徑。借助數(shù)學(xué)實驗?zāi)軒椭鷮W(xué)生養(yǎng)成操作圖形的良好習(xí)慣，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

初中數(shù)學(xué)；實驗探究；幾何直觀

目前，廣大數(shù)學(xué)教師愈來愈多地接觸幾何直觀這個詞匯，按筆者的理解，它是新課程的核心概念，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本策略，幾何直觀是指利用圖像來分析數(shù)學(xué)問題，使之形象化，便于交流與理解。而數(shù)學(xué)實驗則指的是借助實際操作來真正讓學(xué)生操作幾何直觀，數(shù)學(xué)實驗是實現(xiàn)幾何直觀的有效渠道。沒有實驗的幾何直觀難以真切化也難以理解，而沒有幾何直觀的數(shù)學(xué)實驗則往往是紙上談兵，不切實際。如何通過數(shù)學(xué)實驗來培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，筆者結(jié)合平時工作略陳一二：

一、在折、剪中實現(xiàn)幾何直觀，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基本元素，但是長期以來，數(shù)學(xué)概念教學(xué)不外乎教師展示一些實例，讓學(xué)生觀察討論它的基本內(nèi)涵，做多了學(xué)生自然形成了相關(guān)概念，但是在現(xiàn)實中學(xué)生往往對其理解不深，易發(fā)生概念之間的理解混淆。

比如，對于三角形的中線、角平分線、高線是三角形中的基本線段，在建立這三個三角形中的概念時，我們可以讓學(xué)生把其中一條邊對折，這樣就找到了這條邊中點，然后沿這個中點與這條邊所對角的頂點折出一條線段就是三角形的中線了。至于高，其實需要把三角形的一邊對折，如果此時折縫沒有過這條邊所對角的頂點，那要再折，直接折縫過了頂點，展開三角形紙片，此時的折縫就是三角形的高了。為什么？學(xué)生可以通過平角被分成兩個相同的角來理解，此時折縫正好與它相交的邊垂直。同樣角分線則要通過折疊三角形的角來得到，它有核實屬性是必須使三角形的一個角分成兩個相同的角，而且這個角平線是指一條線段而不是射線。另外，還有一邊上的中垂線也是一個重要概念。對學(xué)生來說，不但現(xiàn)在需要掌握這些概念，今后還要衍生出它們的種種性質(zhì)，在作圖與圓的學(xué)習(xí)中都會用到，但現(xiàn)實中學(xué)生往往會混淆起來。那是因為他們對概念的理解比較膚淺。為什么計算面積是一定要是用高，而不是中線？這需要學(xué)生理解高的概念與三角形面積的實驗過程。為什么是中線可以把三角形分成面積相等的兩塊，而不是角平分線？這更需要把握其同一直線上兩條相同的線段所造成的等底的特征。有了上邊的操作過程，學(xué)生不但看到了相關(guān)線段，還做出了相關(guān)線段，這種在直接實驗操作中得到的概念既是幾何直觀的表現(xiàn)，更有助于概念的真正形成。

二、借助數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)幾何直觀，使數(shù)學(xué)直觀化

數(shù)學(xué)中有大量內(nèi)容，從表面上看是屬于代數(shù)的領(lǐng)域，但如果我們能借助實驗用形來表征數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，就會使這些內(nèi)容更形象與直觀，這就是我們經(jīng)常說的數(shù)形結(jié)合。在小學(xué)里，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會用線段圖來表示應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，到了初中，數(shù)形結(jié)合的要求更高了，用線段可以表示無理數(shù)。

這里我們可以插入兩段數(shù)學(xué)史，一是：公元前4世紀(jì)，畢帕索斯發(fā)現(xiàn)正方形的邊長與其對角線之間就是不可公度（公度指的是它們之比是自然數(shù)之比）。而由于畢帕索斯的這一離奇發(fā)現(xiàn)，觸犯了部分人的利益，因此這位聰明的數(shù)學(xué)研究者被可憐地扔進了大海。另一則是在中國，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方不盡的圓周率。中國人始終對關(guān)于無限的問題能夠正視，所以很快發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。有了這兩則史話，我們可以出示如上圖形，讓學(xué)生探究圖中在邊長為一的小正方形塊拼成的大正方形中有如陰影部分所示的長方形，你知道長方形的長是多少，寬又是多少嗎？數(shù)形結(jié)合下的數(shù)學(xué)探究由此開始，這種學(xué)術(shù)探究氛圍一點不亞于中國古代數(shù)學(xué)家與國家的數(shù)學(xué)名人。

三、借助圖形變動實現(xiàn)幾何直觀，理解變化中的規(guī)律

讓圖形中部分元素是運動的，讓學(xué)生產(chǎn)生運動的觀念，這是數(shù)學(xué)實驗中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的常用渠道，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要方面。對于運動的圖形，傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生只能夠通過不同圖形的操作達到目的，這正好像過去的畫圖生成的動畫片一樣，它只是一種感覺上的動，并未真正地動起來。現(xiàn)在好了，有了電腦軟件，一切都夢想成真了，幾何畫板就是這樣一款實用性很強的數(shù)學(xué)實驗軟件。

比如我們要研究y=ax2（a≠0）與y=a（x-h）2（a≠0）的兩圖像間的關(guān)系，借助幾何畫板，我們生成相關(guān)圖像會非常自然，而且兩個圖形可以重疊在一起比較。一旦圖像呈現(xiàn)，我們可以改變h的大小，所產(chǎn)生的變化一目了然，然后可以讓學(xué)生找找這樣變化的原因，使探究進一步深入。

再如，為了探究圓的相交弦定理，我們可以如下操作：

（1）打開幾何畫板，做出⊙O，在⊙O上取四個點，連接出兩條弦AB與CD，交點為E。

（2）運用“度量”菜單下的“線段”，度量AE、BE、CE、DE的長度，觀察后猜想：這四條線段存在什么樣的關(guān)系？然后用函數(shù)功能計算兩兩相乘的結(jié)果，在界面的一側(cè)顯示結(jié)果。

（3）拖動四個圓上四個點中的其中一個，看猜想的結(jié)論有何變化。（4）拖動四個頂點中的幾個，看猜想的結(jié)論有何變化？

通過這些操作，學(xué)生的猜想得到了驗證，就為下一步的證明提供了方向，怎么證明，其實學(xué)生會很快通過把相關(guān)等式轉(zhuǎn)化為線段的比例關(guān)系，然后用相似三角形、圓周角的知識來解決了問題。

綜上所述，在新課程時代，數(shù)學(xué)實驗將原始的數(shù)學(xué)探究過程重新搬上了舞臺，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家的思維過程，增強自信心與自豪感。而通過數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生的動手能力增強了，數(shù)學(xué)直觀能力也得到了培養(yǎng)。由于計算機的介入，使數(shù)學(xué)實驗更為高效與省時，使數(shù)學(xué)實驗與幾何直觀更加緊密地聯(lián)系在了一起。

［1］董林偉.數(shù)學(xué)實驗手冊（八年級上冊）［M］.南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2015.