破解多元函數(shù)最值問題之策略

江蘇省通州高級中學(xué)　朱麗強

破解多元函數(shù)最值問題之策略

江蘇省通州高級中學(xué)朱麗強

在高考和高三模考中，多元函數(shù)最值問題可謂是一顆璀璨的“明珠”，常考常新。由于其具有“知識上的綜合性、方法上的靈活性、思維上的獨特性”等特點，有時讓學(xué)生感到“束手無策”。其實，你只要注意平時善于總結(jié)與歸納各種解題技巧、方法與策略，在遇到具體問題時，便能綜合比較、多向衡量而采取一個正確的、巧妙的、快捷的策略措施。下面本文通過對一些常見的典型例題的本質(zhì)性的挖掘與分析，提出解決此類問題的一般性的策略。

評析：（1）解法一由已知條件和所求的式子，不難想到轉(zhuǎn)化為“齊次型”來證明。這種問題在思維策略上具有一定的指向性，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)基本方法的掌握。

（2）解法二的關(guān)鍵點在于：變化換元，創(chuàng)設(shè)條件改變易尋找關(guān)系的變量。這種解題的策略往往會尋找到問題的銜接點，架設(shè)起解題的綠色通道，從而能達到出奇制勝的效果。這類題往往能很好地反映學(xué)生的思維層次與能力水平。

（3）本題也可采用“三角換元”求解。

評析：（1）解法一的解題關(guān)鍵點在于：利用基本不等式。它是解決最值問題的立足基本，是占有突出地位的常用方法。在解決有關(guān)多元函數(shù)最值問題時，我們未必讓學(xué)生總是片面追求解題的特殊技巧而忽視了數(shù)學(xué)中的通性通法，這樣會使數(shù)學(xué)能力成為毫無根基的“空中樓閣”。

（2）解法二的解題技巧在于：三角換元。從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。這種轉(zhuǎn)化的解法，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題機智，也凸顯了換元轉(zhuǎn)化的神奇功效。

例3：設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最小值_______。

評析：（1）解法一的關(guān)鍵是通過消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解。

（2）解法二的關(guān)鍵點在于：“利用基本不等式”的技巧，這種技巧產(chǎn)生在充分的觀察、思考與研究之后。在求解數(shù)學(xué)的問題時，首先就應(yīng)該從宏觀上把握問題，透過信息的表象，能抓住問題的本質(zhì)，再從微觀上明確解題的方向。

（3）解法三通過三角換元巧妙地將一些重要數(shù)學(xué)思想方法寓于問題的解決之中，曲徑通幽，耐人尋味。

以上解決多元函數(shù)最值問題的思路與方法告訴我們：見多識廣，可以增強領(lǐng)悟能力，博采眾長，才能減少盲目性。解題中的靈感突現(xiàn)，源自平時的日積月累，只有多鉆研，多探索，做題時便能隨機應(yīng)變或獨辟蹊徑，以致迎刃而解。