源自生活高于生活，創新練習促進互動——以平面直角坐標系起始課教學為例

☉江蘇省連云港市羅陽中學　徐進友

源自生活高于生活，創新練習促進互動——以平面直角坐標系起始課教學為例

☉江蘇省連云港市羅陽中學徐進友

新的數學概念或數學領域初步接觸時，不少教材上往往安排大量豐富的生活現實，意圖從生活情境中抽象、分離出新的概念，然而這些生活現實或在小學階段已反復出現，也有時與學生離得很遠，難以引發共鳴，有些甚至不能體現新概念的本質特征，這時如果過分依賴教材，大量采用生活現實，往往教學效果低下，使得學生在較低層次上徘徊，沒有及時帶領學生向上挑戰，也不符合“開門見山”的教學取向.筆者近期在執教一節“平面直角坐標系”起始課公開課前，認真研習了《中學數學》（下）2016年9月的《“生活味”淡一點，“數學味”重一些》（詳見文1），受益非淺.于是筆者也從生活現實出發，迅速離開現實情境，定義新工具，進行了豐富多樣的訓練，也使得課堂教學走向開放，取得較好的教學效果.本文梳理該課的教學實錄，并跟進闡釋教學立意，供研討.

一、平面直角坐標系起始課教學設計

（一）理解教學內容

從數學內部發展的歷史來看，平面直角坐標系是為了研究函數圖像的需要，定義出來的一種工具，與學生在剛進初中時接觸的數軸有關，本質上是由兩條數軸垂直相交（垂足為原點）而成.將原來“一維”的研究推廣到“二維”的平面.不同的初中教材都是將平面直角坐標系引入之后再學習函數及其圖像.作為起始課，不少教材上都是安排一個課時的所謂生活現實或情境，用來定義有序數對.而就筆者所知，小學階段關于有序數對在生活情境中的體現已非常豐富，到了初中如果還停留在這個層面，顯然是把學生“留在美好童年”.基于這樣的認識，我們重組了教材，設計出如下的教學目標.

目標1：通過具體實例，理解有序數對的概念和意義，會利用有序數對表示實際生活中具體物體的位置.初步掌握平面直角坐標系及相關概念；能由坐標描點，由點寫出坐標.

目標2：經歷有序數對、平面直角坐標系等概念的形成過程，體會類比、數形結合等思想方法.

教學重點：有序數對、平面直角坐標系.

教學難點：理解平面內點與坐標的對應關系.

（二）教學流程設計

1.開課階段，創設情境，引入新課

同學們，在國慶60周年的慶典活動中，天安門廣場上出現了壯觀的背景圖案，你知道它是怎么組成的嗎？通過本章的學習，你一定會明白其中的道理的.

2.探究有序數對

教學活動：復習數軸的相關知識，提出如何確定平面內的點的位置，通過實例探究得出有序數對.

預設互動：安排舉出生活實例.

預設練習：畫出路線：如圖1，甲從（4，2）的位置出發，按（4，2）→（2，2）→（2，6）→（5，6）→（5，1）→（8，1）→（8，4）→（2，4）的路線行走，請你在圖中畫出這條路線.

圖1　

設計意圖：這類問題學生在小學練習過，這里再以網格線的形式出現，一是復習，二是為接下來定義平面直角坐標系的坐標作鋪墊.

3.學習新知，定義平面直角坐標系

提出問題：數軸上的點可以用一個數來表示，如何表示平面內的點的位置？

預設：引導學生再畫一條數軸.指出表示位置的方法就是建立平面直角坐標系，這是當年大數學家笛卡兒發現的.并以PPT展示方式快速介紹相關數學史，讓學生感受到數學的源遠流長.

預設活動：自學書本，如何建立平面直角坐標系.

預設互動：請學生介紹平面直角坐標系的定義、各部分名稱，并在圖中標出x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、原點、各個象限.

預設活動：請你畫一個平面直角坐標系.

預設互動：學生小組間相互評判，老師再組織全班交流展示，并強調細節之處.

4.深入探究坐標與點的關系

教學活動：先安排學生由點寫坐標，即由形到數的對應.寫好之后，預設如下交流活動.

（1）請學生交流如何寫已知點的坐標.

（2）相互出題寫坐標，再相互糾錯.

（3）提問：一個點的坐標有幾個？為什么？（只有一個，因為過一點有且只有一條直線與已知直線垂直）

接著安排學生由坐標描點，即由數到形的對應.然后安排如下的交流活動.

（1）交流如何由坐標描點，請舉例說說.

（2）在你畫的坐標系中，描出下列各點，并順次連接，繪制出圖案.

（1，3），（1，1），（0，0），（0，-2），（1，-3），（-3，-3），（-2，-2），（-2，0），（-3，1），（-3，3），（1，3）.

點（1，-3）和點（-3，1）表示同一個點嗎？說明什么？

追問：每一個坐標對應幾個點？你能用學過的知識解釋嗎？（兩條直線相交，有且只有一個交點）

5.小結概括，預設小結問題

（1）通過剛才的研究，你發現坐標平面上的點與有序數對有什么關系？

（2）各個象限和坐標軸上的坐標有什么特征？

（3）回顧本節課的學習內容，你認為必須掌握哪些知識和技能？還有哪些問題需要討論？

6.反饋練習，拓展提升

以某一同學為坐標原點，所在行為x軸，所在列為y軸，相鄰兩人的距離為單位1，建立平面直角坐標系，思考自己所在點的坐標.符合下列條件的起立，比一比誰的反應快.

（1）坐標為（1，2）和（2，1）的點；

（2）橫坐標為0的點；

（3）橫坐標為正數、縱坐標為負數的點；

（4）橫坐標和縱坐標相等的點.

預設意圖：通過練習鞏固了有序數對和坐標特征，同時解釋國慶時鮮花方陣的形成原理，學以致用.華羅庚說“數缺形時少直覺，形缺數時難入微.”數形結合的思想方法今后我們會經常用到，平面直角坐標系是圖形與數量之間的橋梁，有了它我們解決數學問題的能力一定又有長進.

二、教學立意的進一步解讀

1.生活現實引入，但不宜過分依賴

平面直角坐標系的新課引入，在各大教材上多是用生活情境引入，這是可以的.然而實際教學中，不宜過分依賴生活情境，也就是說，可以由生活情境出發，但迅速通過，引入平面直角坐標系概念的定義.如果過分依賴生活現實，也許課堂氛圍是熱烈的，學生是活潑的，但是學生的認識與思考卻停留在小學階段的有序數對的認識上，這與初中學段的要求是相悖的.

2.定義坐標系，引導理解新概念

在定義平面直角坐標系之后，要引導學生從數軸的角度反復理解和體會新概念、新工具.在本質上說，平面直角坐標系就是兩條數軸組合而成，反映著數形結合，是研究二維平面上點與數對之間對應關系的重要工具.接著訓練時圍繞概念選取或設計簡單的體現數形結合的習題，讓所有學生都能理解新概念，并知道平面直角坐標系與數軸之間的關系.特別是初始訓練階段，例、習題一定要簡單，體現新概念本質.

3.滲透數學史，感受數學文化魅力

在訓練學生初步理解新概念之后，要適度引入反映本節內容的數學史話，采用PPT展示的方式快速切換，讓學生感受到數學文化魅力，知道現在看來很簡單的一個數學概念，如平面直角坐標系這樣的工具，在漫長的人類文明進程中，也經過很多數學家的發現、發明、完善與優化.文明需要傳承，一個坐標系也可見其一斑.

4.創新訓練形式，促進互動展示

就本節課的訓練習題來看，呈現形式豐富多樣，不僅有簡單的針對新概念的訓練試題，更有很多開放問題，如安排學生互動式提問、互相解答、答辯展示等訓練形式，同時也使得課堂教學走向了開放.使得學生之間的對話、互動成為可能，也是追求了日本著名教育學者佐滕學所謂的從“相互說”走向“相互學”.

三、結束語

起始課教學在人大復印資料《初中數學教與學》近期曾有專題關注，很多老師基于教學內容前后一致、邏輯連貫，構思了精彩的教學設計，筆者注意到，其中的共性是單元教學、教材重組，使得過去的“教教材”走向了“用教材教”.這當中不僅是理念問題，更關于理念如何落地.我們基于“理解數學”的認識，對平面直角坐標系起始課進行了內容重組與練習創新設計，實踐還是初步的，期待批評與打磨意見.

1.邱曉敏.“生活味”淡一點，“數學味”重一些——“平面直角坐標系”起始課的評課與商榷［J］.中學數學（下），2016（9）.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.Z