經營轉場：折紙串起平行四邊形起始課教學*

☉江蘇省海安縣城南實驗中學　劉東升☉江蘇教育報刊總社沈紅艷

經營轉場：折紙串起平行四邊形起始課教學*

☉江蘇省海安縣城南實驗中學劉東升
☉江蘇教育報刊總社沈紅艷

最近，南通市教科研中心組織了全市初中數學賽課活動，賽課課題是平行四邊形起始課.本文作者有幸觀摩了多位教師的賽課，并在課后與不少參賽教師進行了交流，多數選手忠實于教材上的情境設計（從生活中的平行四邊形圖片引入新課），并按部就班地定義平行四邊形，再帶領學生觀察、度量、猜想、證明出對邊相等、對角相等，然后是例題講評、練習應用，最后鏈接講解兩條平行線之間的距離.應該承認，上述教學流程是合理的，教學效果也是有效的.然而，教學既是科學，也是藝術，為了達到各個教學環節之間的無縫對接、自然過渡，追求更好的轉場效果，我們給出由折紙活動串起的平行四邊形起始課教學設計，并對教學立意作出相關解讀，供研討.

一、平行四邊形起始課的教學設計

（一）教學目標

（1）探究并證明平行四邊形的性質（對邊相等、對角相等），并能運用上述性質解決平行四邊形中簡單的邊、角求值問題.

（2）會用定義證明一個四邊形為平行四邊形.

（3）理解平行線之間的距離，并能利用平行四邊形的定義、性質解釋對平行線之間距離的理解.

（4）在折紙操作到問題變式思考中，感受從具體到抽象、從特殊到一般的數學思想方法.

（二）教學重點、難點

重點：探究并證明平行四邊形的性質（對邊相等、對角相等）.

難點：靈活運用平行四邊形的定義、性質證明平行線間距離處處相等.

（三）教學流程

平行四邊形起始課教學流程圖

（四）教學過程

1.折紙活動，引入新課

師：同學們，前面我們已學習了三角形、特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）的一些知識，并且知道一般四邊形的性質，今天開始我們學習一類特殊的四邊形.（拿出一張A4紙）

問：這是一個什么四邊形？（預設學生回答：長方形或矩形）

學生在老師示范下開始折紙，折紙示意圖如圖所示.（經過圖1的折法得到圖2）

圖1　

圖2　

問：圖2是一個什么四邊形？（預設學生回答：平行四邊形）那開始的A4紙也是平行四邊形嗎？（預設學生回答：也是，但更特殊）

師：那今天我們就開始學習平行四邊形.（板書：平行四邊形）從前面研究圖形的經驗看，我們要從哪些方面開始研究呢？（預設學生回答：研究平行四邊形的定義、性質，還有判定等）

師生合作給出平行四邊形的定義、符號表示，形成板書.

2.性質探究，開放應用

師（拿著折出的平行四邊形）：同學們看這個平行四邊形，大家覺得從哪些角度來研究它的性質呢？（預設學生回答：邊、角、對角線等）

由學生猜想或度量發現后，板書“猜想”（這兩個字在后續證明之后擦去，改為“性質”）：平行四邊形的對邊相等、對角相等.

師：跟以前學習一樣，現在我們來證明上面兩個猜想，這兩個文字命題該怎樣證明呢？（預設學生回答：畫圖、已知、求證、證明）

如圖3，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.

求證：AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.

證明：連接AC……（限于篇幅略）

圖3　

證明之后，板書性質的符號語言，接下來出示一組開放題，訓練平行四邊形對邊相等、對角相等.

例1如圖3，?ABCD中，

（1）當∠ABC=60°時，求_______；

（2）若AB=3cm，BC=6cm，求______.

教學預設：安排學生自己設計一個問題，同座、小組內分別交流后，再全班交流展示各組設計的問題，借這個活動訓練學生對平行四邊形對邊相等、對角相等的理解.

3.回到折紙，引出“距離”

師：開課期間，我們曾折出一個平行四邊形，現在再讓我們看看折紙過程中的這個圖形（再次演示），稍加改編，可以出一道幾何題，PPT呈現例2.

例2如圖4，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E、F.求證DE=BF.

圖4　

教學預設：學生容易想出利用?ABCD的性質得出∠A=∠C，AD=CB，再證△ADE≌△CBF得出DE=BF.這種思路貫通后，追問學生有沒有其他思路？（預設學生能想到證明四邊形DEBF也是平行四邊形，從而得出DE= BF.如果學生想不到這種思路，可以引導“有人發現圖4中還有一個平行四邊形，你能找到嗎？”）

在不同證明思路之后，引導學生從距離的概念來反思圖4.

追問1：“線段DE、BF的長可以看成哪種“距離”呢？（預設學生回答：DE的長可以看成是點D到AB的距離；BF的長可以看成是點B到CD的距離）這兩個距離相等嗎？

追問2：如圖5，在CD邊上取一點M，作MN⊥AB于N，則MN=DE？類似地，PH=BF？（安排學生講解成立的依據：利用平行四邊形DENM的性質得出MN=DE）

圖5　

教師講解：距離是幾何中的重要度量之一.前面我們已經學習了點與點之間的距離、點到直線的距離.在此基礎上，我們還可介紹兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫作這兩條平行線之間的距離.

4.師生小結，當堂檢測

問題1：今天學習了哪些內容？這些內容與小學有何區別？

問題2：平行四邊形中還有一種重要線段：對角線.這節課學習時間有限，同學們課后可以繼續思考：平行四邊形有幾條對角線？它們有什么關系？

問題3：學了平行四邊形的性質之后，還要學習它的判定，而我們今天在解決有關問題時，就已用了定義判定，后面還會系統研究平行四邊形的判定方法，有興趣的同學也可提前思考.

當堂檢測題：兩張紙條交叉疊放問題（共5個小問，每問20分，答題時間6分鐘）.

如圖6，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構成了一個四邊形.轉動其中一張紙條，設重合部分為四邊形ABCD.

圖6　

（1）有同學指出：四邊形ABCD一定是平行四邊形，你覺得理由是什么？

（2）求證：AD=BC；

（3）當∠ABC=130°時，求四邊形ABCD的其他三個內角度數；

（4）點A到BC的距離是5cm時，點C到AD的距離是多少？

（5）如果兩張紙條是等寬的，你覺得四邊形ABCD還有哪些特殊的性質呢？（只要答出一個即可）

設計意圖：第（1）問檢測學生對平行四邊形定義的理解；第（2）問檢測學生對平行四邊形對邊相等的理解；第（3）問檢測學生對平行四邊形對角相等的理解；第（4）問訓練學生對平行線間距離的認識；第（5）問發散出去，讓優秀學生挑戰一下以后要學習的特殊平行四邊形——菱形的四邊都相等.

（五）板書設計

圖7　

二、教學立意的進一步闡釋

上面本著教學研討的興趣，展示了我們對平行四邊形起始課的教學設計，并對各個教學環節給出了操作性建議，以下再從整體上就該設計的教學立意給出進一步的闡釋.

1.構思折紙活動，經營轉場效果

文學、影視作品常常需要經營所謂的“轉場”，比如在兩個場景（即兩段素材）之間，采用一定的技巧實現場景或情節之間的平滑過渡，追求較好的轉場效果.從上面的教學設計可見，折紙活動貫穿整節課的不同教學環節，開課時以折紙引出平行四邊形的定義，活動2讓學生觀察度量折出的平行四邊形對邊、對角的數量關系，活動3在所折紙片中研究兩條垂線段的數量關系，活動4中又以兩張紙條疊合在一起為情境設計一道課堂檢測試題.可以說，如此的構思回環往復、瞻前顧后，追求了很好的轉場效果.

2.辨識學段特征，把握教學重點

新世紀以來，由于所謂“新課程”理念突出了“生活現實”，隨之數學教材一個顯著變化就是幾乎在所有能找到生活應用的數學內容前都增加了所謂的“生活情境”，這種現象已經在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中得到糾偏，比如要重視“生活現實”，也要重視“數學現實”，還要兼顧“其他學科現實”等.這當然也是我們放棄教材上的平行四邊形的情境圖片引入新課的一個依據，更為重要的是，反復或大量使用生活現實圖片，往往是一種學段辨別不清的表現，因為，在初中學段學習平行四邊形，其重點應該是如何定義平行四邊形、猜想并證明平行四邊形的性質.

3.注重變式追問，追求開放教學

眾所周知，變式教學是我國數學“雙基”教學的重要組成部分.然而變式教學如何在課堂中得到充分貫徹執行，我們仍然有很多工作要做.突出的表現是，不少初任教師對變式教學還只是停留在習題的低層次變式，甚至就是我們在一些學案中所見到的對同一知識點拼湊題組進行訓練形式，而對概念變式、教學過程中的變式還缺少專業深入.以上面提供的教學設計來看，除了“當堂檢測”提供的題組體現了變式設問追求之外，在“例題2”的教學中，在學生從全等的角度貫通思路、實現證明之后，我們預設了“追問”，讓學生利用定義證明?BFDE，再利用?BFDE的性質得出DE=BF，這就可看成是一次解題過程中的變式追求；進一步通過“追問1”“追問2”將問題變式過渡、引出“平行線之間的距離”這一重要概念.此外，我們還可提及鄭毓信教授指出的“從開放題到開放的數學教學”，在本課教學中，“活動2”平行四邊形的性質證明之后，安排了例1，這是一道開放式問題，由學生自己提出問題、互相解答，用開放題的形式追求開放的數學教學；在性質探究環節，如果學生提及平行四邊形的對角線性質，則在板書上寫出“對角線”（見板書設計），限于教學時間本課暫不深究；本課最后的當堂檢測題的最后一問是“如果兩張平行紙條是等寬的，你覺得四邊形ABCD還有哪些特殊的性質呢？”這是一道開放式問題，同時又是一個可供后續生長式的問題“潛伏”，因為學生即將學到一類特殊的平行四邊形：菱形.

4.探究漸次展開，滲透思想方法

本課從折出一個平行四邊形引入新課，抽象出平行四邊形，給出定義和符號表示，又在“活動3”中對折紙中的兩條垂線段進行進一步研究，這些都體現了“從具體到抽象”的數學思想.在“例題2”教學的“追問2”環節，我們任意取點M、P，體現了從特殊點（點E、B）到任意一點的特殊到一般的思想方法，而這樣的思想方法在教學過程中并不需要貼出所謂的標簽，只是以一種十分內隱的方式使學生體會、感悟、默會.想來，數學思想方法的教學如何更加務實，讓更多的學生感悟思想、學會方法，掌握研究數學問題的“基本套路”（章建躍語），這些都是需要在教學預設過程中充分預設、苦心經營的.

1.張誠，張成品.經營“轉場”：讓教學環節過渡自然——《中學數學》（下）2015年1~3月讀刊隨筆［J］.中學數學（下），2015（5）.

2.劉東升.辨別學段特征：初中幾何教學的用力點——以“圓（第1課時）”教學為例［J］.中學數學教學參考（中），2015（3）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

5.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013，56（6）.Z

本文為江蘇省教育科學規劃“十二·五”規劃重點資助課題“李庾南研究”（課題編號：B-a/2011/02/052），主持人為祁國斌。