習題課教學：從“拿來主義”走向編題變式——以“數軸再認識”習題課為例

☉江蘇省海安縣胡集初級中學　王秀梅

習題課教學：從“拿來主義”走向編題變式——以“數軸再認識”習題課為例

☉江蘇省海安縣胡集初級中學王秀梅

不少數學教育學者（如人民教育出版社中數室章建躍編審）指出：要重視數學核心概念的教學.而對于所謂“核心概念”的界定又顯困難，通常需要教師根據自身對數學的理解、對學生的理解、對教學的理解來確定哪些概念是“核心概念”，需要并值得在教學中增設課時進行重視和強化.比如，筆者認為，學生剛進入初中，數系剛擴充到有理數，就引出數軸的概念，基于數軸定義了相反數、絕對值等重要概念，為后續研究有理數的運算提供了奠基作用，則數軸可看成是有理數基礎概念中的核心概念.根據以上認識，我們在教材內容之外，在數軸、相反數、絕對值教學之后，自主增設了數軸習題課，引導學生對數軸再認識，起到了較好的教學效果.本文整理該課的教學設計，并跟進教后反思，供研討.

一、數軸習題課教學設計

教學環節（一）：從數軸出發

（1）數軸的概念；簡要回顧從溫度計（如圖1）抽象出數軸（如圖2），安排學生回顧數軸的三要素（原點、正方向、單位長度）.

圖1　

圖2　

（2）數軸與相反數的關系.

在數軸上，到原點距離相等的點有兩個，這兩個點所表示的數符號相反，稱它們為相反數.

（3）數軸與絕對值的關系.

在數軸上，表示數a的點與原點的距離叫作數a的絕對值.

（4）數軸與數的大小比較.

數學中規定，在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的數.

（5）數軸與有理數的運算.

比如，即將要學習的有理數加法運算中的異號兩數相加，本質上是將互為相反數的部分抵消.可舉例示范：-3+2=-1+（-2）+2=-1.

設計意圖：數軸是進入初中第一個數形結合的工具，不僅可以把有理數表示對應到數軸上，而且是后續定義相反數、絕對值的基礎，又是研究數的運算的一種工具，還是以后學習平面直角坐標系的基礎.

教學環節（二）：典例分析

例1如圖3，數軸上，點A、B分別表示a、b.

圖3　

（1）從圖中讀出a=______，b=______；

（2）在圖中標出a的相反數-a；

（3）點B到原點的距離是多少？

（4）點A、B之間的距離是多少？

（5）將點B向右移動7個單位到達點C，則點C到點A的距離是多少？

【預設講評】

（1）a=2，b=-3；

（2）在-2處標出即可，圖略；

（3）3；

（4）5；

（5）點C對應著數4，則點C到點A的距離是2.例2如圖4，數軸上，點A、B分別表示a、b.

圖4　

（1）從點B所在位置來看，數b是一個正數還是負數呢？

（2）在數軸上標出表示-b的數，并用點B′表示；

（3）比較a、b、-a、-b的大小，用“<”連接；

*挑戰*（4）設線段AB的中點為M，點M對應的數是m，試用含a、b的式子表示m.

【預設講評】

（1）b是負數；

（2）在原點右側，與點B等距離的位置標出點B′，圖略；

（3）在圖中再標出表示-a的點，這樣可以由數軸上數的大小關系，直接寫出b<-a

（4）可以從特殊值出發，比如取a=2，b=-3時，m=-0.5；a=1，b=-4時，m=-1.5；a=3，b=-1時，m=1；…；可歸納出m=

教學環節（三）：變式訓練，聽課檢測

變式題：如圖5，點M、N是數軸上兩點，對應著數m、n.

圖5　

（1）當m=-3，n=2.9時，M、N之間的距離，即MN= _____；

（2）將點N向左移動5個單位后對應著點A，若點A還在M點右邊一個單位，則MN=________；

*挑戰*（4）若點A對應著1，當MA=NA時，求4m+4n+ 2008的值.

【預設解答】

（1）5.9；

（4）結合上面例題中所探究的中點與線段兩端點對應數之間的關系，可以發現m+n=2，則4m+4n+2008的值為4×2+2008=2016.

設計說明：針對前面的例題的類型進行的變式訓練，前三問屬于簡單變換字母、數字，而最后一問則是對上面例題中的最后一問的變式拓展，需要學生有整體求解的策略.這里也可順便鏈接九年級二次函數的一類習題，如圖6，二次函數y=ax2+bx+c的圖像（拋物線）與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），拋物線的對稱軸與x軸交于點M（m，0），一定有（x1+x2）.二次函數學習時，不少學生不能靈活運用該性質處理有關問題，如圖7，當問題變式到直線y=e與拋物線相交于C（x3，e）、D（x4，e），時，與對稱軸交于N（n，e），仍然有.對比例2（4）、變式題（4），就會發現，雖然較難，但是它們都“指向將來”，讓學生提前熟悉這類問題或結構是十分有益的.

圖7　

圖6　

二、關于“習題課”的相關思考

1.習題課的增設需要專業自主，是“用教材教”的體現

通常情況下，較為重要的數學概念或性質教學之后，都會安排習題課，但習題課的內容卻是訂正學生手頭的所謂教輔資料上的相關習題，成為習題訂正或講評課.我們所謂的增設習題課是指教師在新授課期間主動預設的一種課型，需要基于專業自主，組織教學內容，增設出來的習題課.這也是教師從“教教材”走向“用教材教”（鐘啟泉教授語）的一種專業追求.

2.習題課的開課階段需要梳理回顧，復習相關概念或性質

習題課的開課階段需要梳理近階段相關概念的關系，如上面數軸的習題課開課時，我們把與數軸相關的一些概念、性質、應用都梳理一遍，促進學生自主建構、形成知識網絡、完善知識體系，讓學過的知識能像葡萄一樣串起來，即所謂“串珠成線”.比如從數軸出發，我們定義了相反數，基于這個平臺又定義了絕對值，并且可以比較有理數的大小，還可以利用數軸研究符號不同的兩個有理數的大小，等等.直到以后引入平面直角坐標系時，從“一維”的數軸到“二維”的平面直角坐標系，根據教學經驗，如果學生對數軸上的點與數的對應理解得較為深刻，則過渡到平面直角坐標系時，往往也會有較好的適應性.

3.習題課的例題選擇忌簡單拿來主義，倡導精心編擬，變式拓展

聽過不少習題課的隨堂課，特別是跟隨校領導“聽隨堂課”時，有些教師的作業訂正課就是一種習題課，被聽課者往往也自知“今天講練習冊，沒什么好聽的”.然而如果習題課上的例題不是簡單的拿來主義，而是經過教師精心預設或原創編擬，并經過系列變式拓展，那么習題課也會有很精彩的表現.在精心編擬習題課上的例、習題時，我們有如下一些建議：首先是習題的類型不能超過課標、教材上的典型問題，而是在教材習題的基礎上適當變式；接著可以先由簡單的改編數字、字母出發，再變換設問方式，最后拓展生長，讓高層次學生接受挑戰.

4.習題課的“后半段”需要開展變式檢測，反饋聽課效果

習題課的教學要保證必要的練習量，除了在例題講評環節注意讓學生保持思維參與、積極運算，一個重要的教學環節就是留出10分鐘左右對前面講評環節中的例題開展變式再練.這個教學建議得益于《中學數學》（下）上相關文章中的教學建議，筆者認為，重視聽課檢測是十分重要的，因為學生“聽懂”并不一定“會做”，特別是中下層次的學生往往誤認為自己聽懂就會了，其實只要稍作變式，他們還是顯得很吃力.當然，預設聽課檢測時，也應注意保持高層次學生的積極性，這就是如上面聽課檢測環節那樣，在最后一問設計一道挑戰題，可以讓高層次學生也不能在規定時間順利挑戰成功，這一方面可以促進他們深入思考、長時間思考，另一方面也是追求“這節課可以下課，但思考并不一定就停止”的教學理念.

三、結束語

習題課是一種經典課型，特別是在當下應試教學盛行的時代，如何讓習題課上出新意、上出創意，是值得我們深入研究的課題，本文拋磚引玉，期待批判和更多的課例跟進.

1.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數學（下），2016（7）.

2.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內角和”教學說起［J］.中學數學（下），2016（8）.

3.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

5.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

6.鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（20）.Z