數(shù)學教學中設(shè)置“似是而非”問題的實踐與思考

☉江蘇省南京市教學研究室　朱建明

數(shù)學教學中設(shè)置“似是而非”問題的實踐與思考

☉江蘇省南京市教學研究室朱建明

新課程倡導以學生發(fā)展為本的理念，鼓勵課堂教學方式的創(chuàng)新，注重學生充分參與數(shù)學學習的過程，促進有效的數(shù)學活動開展.因此，為了幫助學生正確理解概念，熟練技能，掌握方法，作為有效載體，數(shù)學“似是而非”問題被廣泛設(shè)計并運用于課堂教學中，激發(fā)了學生學習的積極性、主動性，也深受廣大教師的喜愛.

數(shù)學“似是而非”問題以學生學習的易錯點、疑惑點為素材設(shè)計的教學問題，通過師生質(zhì)疑交流，探究這些問題中不易被發(fā)現(xiàn)的錯誤的原因，在糾錯中澄清錯誤，使學生獲得正確的認識.下面就以江蘇科技出版社出版的初中數(shù)學教材《義務教育課程標準教科書·數(shù)學》中的教學內(nèi)容為例，談談數(shù)學教學中設(shè)置“似是而非”問題的實踐與思考.

一、辨析概念，揭示內(nèi)涵

數(shù)學概念是數(shù)學的邏輯起點，是學生認知的基礎(chǔ)，是學生進行數(shù)學思維的核心.概念教學是數(shù)學教學的基石，在初中階段，有大量的新概念需要學生理解和掌握.對每個新概念的教學，教師都可以設(shè)置相應的“似是而非”問題，引導學生從不同層面去理解概念的內(nèi)涵，界定概念的外延，使學生形成正確、清晰、完整的數(shù)學概念.

例1“6.1函數(shù)（第1課時）”（八年級上冊）在得出函數(shù)概念后，提出問題：

（1）某賓館有58個客房，每個客房的門鎖有3把鑰匙，如果一把鑰匙只能開一把鎖，那么門鎖是鑰匙的函數(shù)嗎？為什么？

（2）如果y是正數(shù)x的平方根，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（3）數(shù)軸上的點A到原點的距離是x，點A表示數(shù)y，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，是揭示事物之間變化規(guī)律的有效手段.與常量數(shù)學不同，函數(shù)不是表示一個確定的數(shù)值，而是反映變量與變量之間的依賴關(guān)系，因此，函數(shù)概念是初中數(shù)學教學的一個難點.本例設(shè)置的三個“似是而非”問題，問題（1）中的門鎖和鑰匙都不是數(shù)值，問題（2）、（3）都與“對于x的每一個值，y都有唯一值與它對應”不符，通過學生對這三個問題的交流討論，可以幫助學生進一步理解函數(shù)概念的本質(zhì).

例2“8.3頻率與概率（第2課時）”（八年級下冊）在本節(jié)課“數(shù)學實驗室”的教學之后，提出問題：

下列說法正確嗎？為什么？

（1）在一定條件下大量重復進行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率就是概率；

（2）拋擲質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率是0.5，表示拋擲1000次硬幣必有500次正面朝上.

初中數(shù)學中的有些概念，學生對其理解需要有個過程，“概率”就是不易理解的概念之一，本例將“概率”與“頻率”兩個概念重組，引導學生通過對上述“似是而非”問題的辨析，強化對它們之間關(guān)系的認識，幫助學生糾正錯誤，正確理解“一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值”所表達的意義.

二、判別命題，明辨真?zhèn)?/h2>

表達數(shù)學判斷的陳述句或用數(shù)學符號聯(lián)結(jié)數(shù)和表示數(shù)的句子的關(guān)系統(tǒng)稱為數(shù)學命題.數(shù)學命題的教學是獲得新知的必由之路，也是提高數(shù)學素養(yǎng)的基礎(chǔ).在命題教學中，通過設(shè)置“似是而非”問題，引導學生學會判斷命題真?zhèn)危莆胀评碚撟C方法，從而加深學生對數(shù)學思想方法的理解和運用，培養(yǎng)良好的數(shù)學思維品質(zhì).

例3“1.3探索三角形全等的條件（第8課時）”（八年級上冊）在本課例8的教學之后，提出問題：有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等嗎？為什么？

圖1　

本例中，如果是兩個直角三角形的兩條直角邊分別相等，那么可以用“SAS”證明兩個三角形全等；如果是斜邊和一條直角邊分別相等，那么可以用“HL”證明兩個三角形全等；如果是如圖1中的“錯位”相等，即AC=EF，BC=DE，那么這兩個三角形不全等.這個“似是而非”問題把三角形全等的判定進行了一個綜合應用，突出了“兩個直角三角形有三個相等條件，它們也不一定全等”的情形，因此設(shè)置這個“似是而非”問題具有較高的教學價值.

例4“6.4探索三角形相似的條件（第3課時）”（九年級下冊）在本課例4的教學之后，提出問題：

圖2　

如圖2，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，如果那么可得DE∥BC，但如果，那么DE與BC平行嗎？為什么？本例中，如果將這個問題中的條件與結(jié)論倒置，即DE∥BC，那么易得△ADE～△ABC.于是正是這一特性，使得這一“似是而非”問題能夠糾正許多學生的錯誤認識，因為兩個三角形中，如果兩邊成比例且其中一邊的對角相等，這兩個三角形不一定相似，這也是學生學習三角形相似中的易錯點.本例教學應從構(gòu)圖出發(fā)，輔以說理，可以引導學生較好克服這一易錯點.

三、體驗規(guī)則，感受差異

初中數(shù)學有許多新的運算規(guī)則，有理數(shù)的運算、根式運算、分式運算都有各自的運算規(guī)則，方程（組）、不等式（組）的解法也各不相同.在這些內(nèi)容的教學中，可以編制數(shù)學“似是而非”問題，通過學生辨別體驗，幫助他們感受其中各自運算規(guī)則的特質(zhì)，理清不同規(guī)則的差別，以便增進學生的運算技能.

例5“3.4合并同類項（第1課時）”（七年級上冊）在課本例1的教學之后，提出問題：

下列計算正確嗎？為什么？

（1）3a+4b=7ab；（2）8y-y=7；

（3）2b3+b3=3b6；（4）-2x2y+xy2=-x2y.

本例是學生學習整式運算初期最易出現(xiàn)的錯誤，與數(shù)的運算規(guī)則不同，整式運算有自身特有的規(guī)則，通過對本例中“似是而非”問題的辨析討論，可以幫助學生進一步理解合并同類項法則，理清整式運算與有理數(shù)運算的差別，有效提高學生的運算技能.

例6“4.1平方根（第2課時）”（八年級上冊）在課本例3的教學之后，提出問題：下列計算正確嗎？為什么？

本例中，求一個數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，雖然它是實數(shù)運算的一部分，但它與有理數(shù)的加減乘除運算有著較大的差異.因此在此處設(shè)置“似是而非”問題，可以以錯防錯，提高學生對求算術(shù)平方根運算中的一些常見錯誤的認識，也利于學生辨別求一個數(shù)的平方根與一個數(shù)的算術(shù)平方根的差異.

四、分類思考，查漏補缺

數(shù)的分類、式的分類、角的分類、三角形的分類等，這些都是貫穿于初中學段的重要內(nèi)容，另外，還有許多數(shù)學問題的解決也需要分不同情況討論，面對這些問題，學生極易出現(xiàn)考慮不周的情形.而通過在一些分類點上設(shè)置數(shù)學“似是而非”問題，可以啟發(fā)引導學生進行辨析討論，增加學生處理這些問題的經(jīng)驗，提高學生的分類意識和能力，幫助學生全面地思考問題.

例7“9.5多項式的因式分解（第3課時）”（七年級下冊）（1）在課本例6的教學之后，提出問題：

請給多項式4x2+1加上一個單項式后，使其成為一個整式的完全平方.

（2）針對學生中寫出部分答案的情況，提出問題：只有這幾種情況嗎？如何思考這一問題？

本例的求解中，最易想到的是加上單項式4x或-4x，可以得到完全平方式（2x+1）2或（2x-1）2.然而本例實際上還有其他答案，這里涉及對“一個整式的完全平方”的分類認識問題：這個整式是單項式還是三項式？這個單項式或多項式的次數(shù)是多少？所以給多項式4x2+1加上的一個單項式還可以是-1、-4x2、4x4.

例8“2.5直線與圓的位置關(guān)系（第3課時）”（九年級上冊）（1）在課本例4的教學之后，提出問題：

圖3　

如圖3，形如量角器的半圓O的直徑DE= 12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=30°，BC= 12cm.半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上.設(shè)運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm.當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）在學生得出一種或二種情況后，提出問題：

還有其他情況嗎？如何做到不重復、不遺漏地解決這個問題？

本例是在教學中而生成的“似是而非”問題，滲透了圖形分類的方法，這里可將△ABC的邊拆分，那么半圓O在運動中，它所在的圓與AC所在的直線相切有兩種情形；與AB所在的直線相切也有兩種情形；與BC所在的直線始終相交，因此一共可得四種情形.

總之，數(shù)學“似是而非”問題由于源于學生，因此能有效激發(fā)學生的探究興趣，促進學生正確理解數(shù)學知識.設(shè)計好數(shù)學“似是而非”問題，對改善教學方式，培養(yǎng)學生的批判性思維，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要意義.