點動圖變細分類構圓探求助突破——2016年紹興市中考壓軸題最后一問的思路突破與解后反思

☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中　沈岳夫

點動圖變細分類構圓探求助突破——2016年紹興市中考壓軸題最后一問的思路突破與解后反思

☉浙江省紹興市柯橋區平水鎮中沈岳夫

2016年紹興市中考數學試卷結構合理，知識面覆蓋廣，難度適中，區分度恰當，與近三年紹興市中考數學試卷的考查內容基本保持一致.在考查方向上，體現注重基礎、突出能力的思想；在考查內容上，體現了基礎性、開放性、新穎性、應用性、探究性和綜合性.試卷多題把關，有較好的區分度，以利于不同發展層次的學生展示自己數學學習的成就.比如第24題，作為壓軸題，壓在理念、壓在立意、壓在數學思想方面.尤其第（3）小題思維含量高，考查學生對圖形要素間的內在關系的分析和靈活轉換.在圖形的特殊位置時，滲透分類討論的思想，讓學生在比較、分析、歸納、類比、抽象中體會數學思想.筆者給出第（3）小題的一種解題思路，期待與同行交流.

一、試題呈現

題目如圖1，在矩形ABCO中，O為坐標原點，點B的坐標為（4，3），點A，C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線l1：y=2x+3，直線l2：y=2x-3.

（1）分別求直線l1與x軸、直線l2與AB的交點坐標.

（2）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標.

（3）我們把直線l1和直線l2上的點所組成的圖形稱為圖形F，已知矩形ANPQ的頂點N在圖形F上，Q是坐標平面內的點，且N點的橫坐標為x，請直接寫出x的取值范圍（不用說明理由）.

圖1　

二、第（3）小題x的取值范圍的突破

由于命題組只給出x的取值范圍的直接答案，筆者靜心下來，認真思考，如何破解命題組特意設置（控制滿分）的這道“坎”？

記得蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，能為我們解答復雜的數學問題提供啟示與借鑒.”對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現問題解決.因此，對動點產生的圖形問題，有時考慮極端情形，如量的最大、最小，圖形特殊位置或臨界位置等，能找到解題的突破口，從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法，進而確定圖形的大致圖像.因此，筆者認為解答動態型試題時應先足夠的退，如把點P按題意分別退到我們最容易看清楚問題的地方，認透了，鉆深了，然后再上去，這就是“以退為進”的解題策略，沿著這一思路，終于找到了解題的突破口，使問題出現了轉機，看到了曙光.

1.當點N在直線l1上時

當P點在C點時（如圖2），以AC為直徑畫輔助圓，此時直線l1與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最小值位置.設N點坐標為（x，2x+3），由題意，易求AC=5，所以AP=5，進而求得AP的中點O′的坐標為因為四邊形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-解得舍去）.

圖2　

圖3　

當P點在B點時（如圖3），以AB為直徑畫輔助圓，此時直線l1與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最大值位置.設N點坐標為（x，2x+3），由題意知AB=4，所以AP=4，所以AP的中點O′的坐標為（2，3）.因為四邊形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-2）2+（舍去）.

由于點N不能與點A重合，所以當點N在直線l1上，且N點在對角線AP下方時，x的取值范圍是當點N在直線l1上，且N點在對角線AP上方時，x的取值范圍是

2.當點N在直線l2上時

當P點在C點，N點在對角線AP下方時（如圖4），以AC為直徑畫輔助圓，此時直線l2與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最小值位置.設N點坐標為（x，2x-3），由題意，易求AP=5，進而求得AP的中點O′的坐標為因為四邊形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，有整理得5x2-22x+18=0，解得由于N點在對角線AP下方，而不合題意，舍去，所以

圖5　

圖4　

當P點在B點，N點在AP下方時（如圖5），以AB為直徑畫輔助圓，此時直線l2與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最大值位置，可得x=2.

當P點在C點，N點在對角線AP上方時（如圖6），以AC為直徑畫輔助圓，此時直線l2與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最小值位置.設N點坐標為（x，2x-3），由題意，易求AP=5，進而求得AP的中點O′的坐標因為四邊形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，有O′A2=O′N2，得整理得5x2-22x+18=0，解得由于N點在對角線AP上方，而不合題意，舍去，所以

圖6　

當P點在B點，N點在AP上方時（如圖7），以AB為直徑畫輔助圓，此時直線l2與圓O′的交點就是N點橫坐標的極端位置——最大值位置.設N點坐標為（x，2x-3），由題意知AB=4，所以AP=4，所以AP的中點O′的坐標為（2，3）.因為四邊形ANPQ是矩形，所以O′A=O′N，即O′A2=O′N2，得（x-2）2+（2x-3-3）2=22，整理得5x2-28x+36=0，解得x1=（舍去）.由于N點在對角線AP上方，而x=2<3，不合題意，舍去，所以

可知，當點N在直線l2上，且N點在對角線AP下方時，x的取值范圍是當點N在直線l2上，且N點在對角線AP上方時，x的取值范圍是

三、“教”，“教”比“解”寬泛

1.關注思想方法，為學生提升素養蓄勢儲能

數學教學離不開數學思想方法，數學教學的核心是數學思想方法的滲透.《課標》（2011年版）提醒我們：數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括.知識是能力的基礎，能力是知識的升華，思想方法則是其靈魂.解決問題是對知識的運用，是學習經驗的積累，是獲得能力的途徑，在解決問題過程中，尤其要注重對數學思想方法的滲透與提煉，在2016年紹興市中考數學試卷，6道填空題有3道要分類思考（第14、15、16題），解答題有2道要分類思考（第23、24題），足見思想方法的重要性，就本文探討的第（3）小題，如分類討論思想（如當N點分別在直線l1、l2上時，要對N點在對角線AC下方或上方進行分類）和轉化思想（如構造出構造輔助圓等），除此以外，還需用到數形結合、方程等思想方法.只有這樣，才能培養學生發現問題和提出問題的能力，才能發展學生分析問題和解決問題的能力，數學思想是數學的精髓，它蘊含于數學知識的發生、發展和應用的過程之中.

2.立足構造圖形，為學生分解難點鋪路塔橋

解題難點是因人而異的，或源于解題者的知識漏洞，或源于發現不了隱含條件，或源于顧此失彼等.壓軸題的區分功能意味著不同水平的學生都有得分空間.不強求全對，但要盡力，“分步、采點”不失為一種得分策略.利用圖形思考、探究，有利于學生找到適合自己的解題方式.此題的第（2）小題也有一定的難度，要對△APM是等腰直角三角形進行分類畫圖思考：即若點A為直角頂點；或若點P為直角頂點；或若點M為直角頂點，然后通過構造“一線三等角”模型，運用三角形全等，求得滿足題意的M點坐標為第（3）小題對學生的思維能力提出了更高的要求，分化現象較為突出，部分學生無從下手，可能是時間比較倉促，也可能一時找不到解題思路，畫不出相應的圖形.其實借助輔助圓，根據動點N的不同位置，逐一畫出滿足題意的圖形能各個擊破，分類畫出符合要求的圖形（最好是分離后的簡化圖形，如圖2～7），再細心觀察，若能發現隱含信息，如O′A=O′N，則能找到問題解決的突破口.上述當四邊形ANPQ是矩形時，若不借助輔助圓的觀察、分析是難以發現的.可見，有效構圖，能使條件整合，能給予解題導向，能作為解題的監控工具，能為不同水平的學生各盡所能提供有利的條件.

3.強化錯題究因，為學生經驗積累提供保障

數學學習的關鍵是解題.數學解題，如果就題論題，不認真領悟其中蘊含的重要數學思想和方法，就容易陷入題海之中，事倍功半.因此，針對學生解題中出現的錯誤，教師應把重點放在錯題價值的挖掘上，對錯誤的“障礙點”進行重點“敲打”，努力使崎嶇曲折的道路變得平直暢通，便于總結解題的一般規律.總結發現知識和技能中的“盲點”或“誤區”，及時克服和彌補.回顧反思難點突破的過程，將有關的技能、技巧通過“上崗上線”，進一步與基本數學思想掛鉤，并將它們組建成網絡系統.對錯題由此及彼，舉一反三，廣泛聯想，求新應變，使學生收到“解一題，會一類，熟一片”之功效.

4.重視變式訓練，為學生思維升華拓展空間

初三的解題教學應當多變式，一方面，起到系統知識，發散思維的作用；另一方面，通過變式訓練和培養學生的問題分析能力，引導學生對數學問題從多層面、多角度進行延伸探究，有意識地引導學生從“變”的現象中分析“不變”的本質，從“本質”中發現規律.變式教學要圍繞講的目的性和針對性展開：明確是訓練學生的計算能力，還是深化學生思維；是進一步鞏固基礎，還是提高學生能力；是提醒學生哪些地方易錯，還是磨練學生解題意志.有效的拓展能更好地服務于講，深化了講，提升了課堂的質量.若能如此堅持，能使學生懂其原理，知其方法，通其變化，這樣學生在不知不覺中既解決了問題，又獲得了方法，也提高了數學思維能力，讓學生的解題學習由懂到會、由會到熟悉、由熟悉到巧.

1.沈岳夫.以“本”為源巧建模提煉規律妙解題——對一類函數視角下平行四邊形頂點坐標求解的研究［J］.中國數學教育（初中版），2014（11）.

2.趙軍，魏先華.一道中考壓軸題的命制過程與思考［J］.中學數學教學參考（中），2014（10）.

3.沈岳夫.例談“極端化策略”法在解題中的運用［J］.中學數學雜志（下），2014（8）.

4.沈岳夫，孟江新.函數視角下動態型的相似三角形綜合題探析［J］.中學數學（下），2015（5）.