解題研究：從一題多解走向結(jié)構(gòu)揭示——以2016年江蘇鎮(zhèn)江中考卷兩道把關(guān)題為例

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)　顧志勇

解題研究：從一題多解走向結(jié)構(gòu)揭示——以2016年江蘇鎮(zhèn)江中考卷兩道把關(guān)題為例

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)顧志勇

中考試題的最后兩大題一般是代數(shù)、幾何綜合題，承載著區(qū)分選拔功能，又有著明確的教學(xué)導(dǎo)向作用，也往往得到不少命題研究者的關(guān)注.本文關(guān)注江蘇鎮(zhèn)江中考卷最后兩道試題，先給出思路突破和解后反思，并跟進(jìn)教學(xué)反思，供研討.

一、考題的思路突破與解后反思

考題1（2016年江蘇鎮(zhèn)江，第27題，有刪減）如圖1，在菱形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CF.

（1）（2）（3）略.

圖1

圖2　

（4）如圖2，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CG.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.

思路突破：由于本題主要難點(diǎn)在第（4）問，限于篇幅我們略去前3問，重點(diǎn)解釋第（4）問的思路.

仔細(xì)讀題后發(fā)現(xiàn)，第（4）問的本質(zhì)是：在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于AD上方時(shí)，求出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式.

也即與所謂的“將線段CD旋轉(zhuǎn)后得到對(duì)應(yīng)線段CG”這個(gè)條件看似無關(guān)？

事實(shí)上，這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)線段的目的是提供一些輔助線，提示解題的思路，具體如圖3.想清楚，點(diǎn)G即為t=0時(shí)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上方時(shí)，連接GF，分別交直線AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)F作FH⊥AD，垂足為H.

圖3　

由旋轉(zhuǎn)角度，可得∠1=∠2，接著證出△DCE≌△GCF，得∠3=∠4.再結(jié)合DE∥BC，得∠1=∠3.于是∠2=∠4.所以GF∥CD.易得易得四邊形CDMN是菱形.再結(jié)合tan∠ABC=tan∠CGN=2，在△CGN中思考，可解出GN=12.所以.而GF=DE=t× 1=t，所以

最后把目光聚焦到Rt△FMH中，由tan∠FMH= tan∠ABC=2，得即y=

解后反思：我們先梳理一下求解的路徑：利用CG構(gòu)造全等三角形（△DCE≌△GCF）→對(duì)應(yīng)著GF=DE=t→發(fā)現(xiàn)菱形CDMN→求出GN、NM的長(zhǎng)分別為最后在△FMH中思考貫通思路.

從上面的求解路徑來看，構(gòu)造并利用全等三角形（△DCE≌△GCF）的性質(zhì)溝通相關(guān)線段、角之間的等量關(guān)系有著特殊的重要價(jià)值，演算、推證過程中，發(fā)現(xiàn)菱形CDMN也是關(guān)鍵，因這會(huì)影響GN、NM的長(zhǎng)能否順利突破.

圖4　

“高觀點(diǎn)”理解：如圖4，連接EF、DF，根據(jù)高中“余弦定理”：CE2=DE2+CD2-2DE·CD·cos∠EDC=t2+12t+180，再著眼于四邊形ECFD的面積，可以用△ECF的面積減去△DEF的面積，也可以用△ECD的面積加上△CDF的面積（可轉(zhuǎn)換為△BCE的面積），從而列出等式：這樣把相關(guān)數(shù)據(jù)代入后可溝通出y與t之間的函數(shù)關(guān)系.

命題商榷：由于上面的第（4）問顯得變式距離過大，增設(shè)的解題層次太多，以下本著命題研究的興趣，重新設(shè)計(jì)如下系列問題，供研討.

題干不變.

（1）當(dāng)CE取得最小值時(shí)，求t的值.

（2）點(diǎn)F能否落在直線BC上？如果可能，求t的值；如果不能，說明理由.

（3）點(diǎn)F能否落在直線AD上？如果可能，求t的值；如果不能，說明理由.

命題意圖：對(duì)于第（1）問，當(dāng)CE⊥AD時(shí)，CE取得最小值，此時(shí)易求得t=6.

對(duì)于第（2）問，構(gòu)造圖5分析，本質(zhì)上說是以C點(diǎn)為圓心，以CD為半徑的圓與直線BC交于F點(diǎn)，此時(shí)可求出DE=12.

圖5　

圖6　

對(duì)于第（3）問，構(gòu)造圖6分析，易得∠1=∠2=∠3=∠4，這樣有.而DH=6，則則.至此，也可看出，原考題的第（4）問是可以探討t的取值范圍的，即當(dāng)t時(shí)，點(diǎn)F落在直線AD上方.

考題2（2016年江蘇鎮(zhèn)江，有刪減）如圖7，二次函數(shù)y1=（x-2）（x-4）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.以P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y2=-2（x-2）（x-4）的圖像過點(diǎn)A.

圖7　

圖8　

（1）略.

（2）①略；②略.

③如圖8，已知0＜m＜2，過點(diǎn)M（0，m）作x軸的平行線，分別交二次函數(shù)y1=（x-2）（x-4）、y2=-2（x-2）（x-4）的圖像于點(diǎn)E、F、G、H，過點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交二次函數(shù)y1=（x-2）（x-4）的圖像于點(diǎn)Q，若△GHN～△EHQ，求實(shí)數(shù)m的值.

思路突破：設(shè)N（n，0），HN=-2（n-2）（n-4），QN=-（n-2）（n-4），所以即.由△GHN～△EHQ，得由對(duì)稱性可知設(shè)KG=t（t＞0），則G的坐標(biāo)為（3-t，m），E的坐標(biāo)為（3-2t，m）.由題意得-2（3-t-2）（3-t-4）=（3-2t-2）（3-2t-4）=m，結(jié)合t＞0，故相應(yīng)地m=1.

另解反思：上面增設(shè)了兩個(gè)參數(shù)，運(yùn)算量可以減小很多.以下再以一個(gè)參數(shù)的演算形式貫通思路.由直線EF過點(diǎn)M（0，m）（0＜m＜2），EF∥AB，代入拋物線中，（x-2）·（x-4）=m.解得故E同理可代入另一條拋物線，得即得又 0＜m＜2，則實(shí)數(shù)m的值是1.

結(jié)構(gòu)反思：將圖8簡(jiǎn)化為圖9.

該題的關(guān)鍵就是GH∶GE= 2∶1，即GH=2GE.只要抓住這個(gè)等量關(guān)系，用含m的式子表示點(diǎn)E、G、H的橫坐標(biāo)，則可列出關(guān)于m的方程，從而獲得問題的解決.原題中的直線HN，以及帶來的△GHN～△EHQ，都屬增加解題層次的包裝、偽裝.

圖9　

二、關(guān)于綜合題教學(xué)的一些思考

1.重視鋪墊設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)并突破難點(diǎn)

較難的綜合題講評(píng)時(shí)要注意在學(xué)生獨(dú)立思考之后進(jìn)行，通過前期批閱學(xué)生解答之后，明晰學(xué)生的主要困難、障礙點(diǎn)，針對(duì)這些障礙點(diǎn)把問題暴露，展示較難問題是如何生成的，把圖形的線段刪減，凸顯問題的本質(zhì)，即引導(dǎo)學(xué)生善于做“目標(biāo)解析”，這樣的訓(xùn)練方式，不僅幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解一道題，而且是傳遞難題的突破方式或研究套路.

2.重視解后反思，幫助學(xué)生揭示考題的深層結(jié)構(gòu)

問題講評(píng)之后，可安排學(xué)生對(duì)較難的步驟進(jìn)行必要的重復(fù)講解，一方面反饋學(xué)生理解的情況，另一方面讓一部分理解稍慢的學(xué)生有機(jī)會(huì)慢慢思考，跟上班級(jí)節(jié)奏.此外，還需要安排解后反思的環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)中，就如上文中我們開展的解后反思一樣，既可從“殊途同歸”的角度開展反思，思考一題多解、多解歸一，比較不同解法之間的和諧與一致，又可以通過刪減部分線條之后，獲得問題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí).還有，對(duì)于有些考題，基于“高觀點(diǎn)”（如高中階段的知識(shí)）能獲得更好的理解的話，也可作適當(dāng)補(bǔ)充，讓高層次學(xué)生提前接觸“高觀點(diǎn)”知識(shí).

三、寫在最后

中考綜合題（特別是最后位置的把關(guān)題）不但承載著區(qū)分選拔功能，還有較強(qiáng)的教學(xué)導(dǎo)向功能，一道取向簡(jiǎn)約、深刻、不超綱的優(yōu)秀試題往往能促進(jìn)地區(qū)教學(xué)選題的走向，而較為繁雜的（甚至是無度增加解題層次）命題取向，也會(huì)讓本地區(qū)中考復(fù)習(xí)備戰(zhàn)的師生無所適從，陷入大量選取繁雜試題的題海之中，影響著數(shù)學(xué)的“本來面目”，從這個(gè)意義說，讓我們期待有更多簡(jiǎn)約深刻的好題出現(xiàn)吧.

1.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z