從一道錯題看章節起始課對數學運算核心素養的影響

☉廣東省中山市華僑中學　陳春濤

從一道錯題看章節起始課對數學運算核心素養的影響

☉廣東省中山市華僑中學陳春濤

數學運算核心素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的思維過程.它主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果［1］.它是在“運算能力”基礎上的進一步發展.教育部考試中心（1999）指出：運算能力包括理解運算，會根據法則、公式和運算律正確地進行運算，能根據題目條件尋求合理、簡捷的運算途徑，運算熟練、準確、迅速［2］.數學運算核心素養應該是運用運算能力解決問題的思維過程.它是六大數學核心素養之一，是開展其他數學學習的基礎.

下面以一道題目的常見錯誤為例，談一談章節起始課教學對數學運算核心素養的影響.

一、題目與解答

二、錯誤解答展示

（X）第⑧步：不考慮字母a的取值情況，取到了+2或±3這些數，導致原式無意義.

除此以外，還有少部分學生未能理解運算，未化簡分式，直接將后面的a值代入計算.這類錯誤暫未列入研究.

三、錯因思考

綜合分析會發現學生主要有五大類錯誤.（1）符號不清.如第V、VII、VIII類錯誤.（2）算理不明.如第II、III類錯誤.（3）概念不透.如第IX類錯誤.（4）技巧不熟.如第I、VI類錯誤.（5）綜合不夠.如第IV、X類錯誤.這五類錯誤就像五個關口一樣，制約著學生數學運算素養的形成.而且，五類錯誤分別對應了數學運算核心素養培養的六大方面：理解運算對象（符號關、概念關）、掌握運算法則（算理關）、探究運算方向（綜合關）、選擇運算方法（技巧關）、設計運算程序（綜合關）、求得運算結果，只有“過好五關”、斬得“六將（數學運算核心素養六大方面）”，才可以讓學生的數學運算核心素養得到有效培養.

這些錯誤絕非一朝一夕可以形成的，它與每節課四基目標落實不夠有關系，特別是與對每章節的第一節課（以下簡稱起始課）的學習不夠扎實有關系.

四、追根溯源

1.過好符號關：以有理數、整式的加減章節起始課為例

有理數一節的起始課中有這樣一段歸納“如果一個問題中出現相反意義的量，我們可以用正數和負數分別表示它們”.這句話明確地告訴我們：初中的數（運算對象）由兩部分構成，即符號和“數值（即絕對值）”，小學時的所有運算只是“數值”的運算，初中則必須先考慮符號.后續的教學內容也體現了這一點：有理數的分類可從符號與絕對值兩個角度分類；數軸要確定原點，分出左負右正；加減計算時注意符號不同的數可以互相抵消一部分（或全部）；乘除運算先確定符號“同號得正，異號得負”；乘方只有符號法則；加減混合算式要看作代數和形式……可以說，整個有理數學習的過程就是不斷強化這一認識的過程.

在整式加減這一章，“符號與它后面的數字是一個整體”這一認識得到了更進一步的加強.在起始課中有這樣一句話“字母和數一樣可以參與計算”，單項式的概念中，系數都是包含前面的符號的，多項式中有關“項”的概念也特別舉例說明“v-2.5中常數項是-2.5”.總之，兩個章節的起始課在講述相關概念時，最核心的認識都是“理解運算對象”，讓學生理解“符號與它后面的數字（或式子）是一個整體”，只有深刻認識這個特點，在計算中牢記“先確定符號、后確定絕對值”，才會避免符號出錯.

例如：化簡-2（a-2）這個式子，有兩種不同的理解：

-2（a-2）=-2·a-2×（-2）=-2a+4；…①

-2（a-2）=-2·a-（-2）×2=-2a-（-4）.…②

第①種變形理解為-2與-2的乘積，將括號中的-2理解為“負2”，運算時符號很清晰，可以直接判斷積的符號.而第②種運算則將括號中的-2理解為“減2”，運算中增添了新的符號，整個計算顯得更復雜.

2.過好概念關：以實數章節起始課為例

初中學段的起始課，絕大部分是概念課，在學生的試卷中，常常發現因為學生對概念的理解不夠深入而引起的“弱智”錯誤，這也從側面反映了章節起始課的教學缺位.

概念類起始課的任務有三：經歷本章知識的生成與建構過程，整體把握知識間的邏輯結構；了解一些自然生成的數學對象和基本概念；感受概念的簡單應用［3］.

對于算術平方根這一節課而言，除了學習算術平方根這一概念，還要對平方根概念的掌握起到“先行組織者”的作用.本內容的難點是什么呢？一是對根號的理解.根號只是一種運算符號，學生卻常理解為它是平方根（或算術平方根）.二是對符號的確定.學生常犯這樣的錯誤：或者“16的平方根是4”.這些錯誤也是因為學生正確“理解運算對象”時，沒能養成先確定符號（偶次方根看根號前面的符號）、后確定絕對值（乘方的逆運算）的習慣.

為了減少這些錯誤，教材在編排這一內容時，頗具心思地分成兩步走，首先介紹算術平方根，主要解決“確定絕對值”的問題；再介紹平方根，解決“確定符號”的問題.可惜的是，課本在編排算術平方根這一內容的過程中，只編寫了“求的值”，卻缺少“求的值”這種類型的題目，即重視了求絕對值，忽略了符號.教師在教學平方根的起始課時，如果能先讓學生分辨清“的含義，明確它們的符號屬性，再學習平方根的內容時，出現符號錯誤的機率應當會更小一些.前面例題中學生將“a為3與它的算術平方根之差”理解為，正是沒能分清平方根與算術平方根兩個概念的符號屬性.

除此以外，分式的章節起始課中注意分母不為零，二次根式的起始課中注意被開方數為非負數，這些概念中的關鍵點只有在章節起始課中得到很好的掌握，后面的學習才能少出錯.

3.過好算理關：以有理數起始課和整式的加減為例

準確計算的基礎是算理要明確.在實際教學中，我們常常發現學生邊做題邊念念有詞地背誦法則，結果求出來的結果還是錯的.主要問題就是沒有真正明白算理.

以有理數的加法為例，異號兩數的加法是學生很容易出錯的，如果按照加法法則，計算-7+5時，學生需要經歷以下的思維過程：判斷同號還是異號→算出兩個數的絕對值→判斷絕對值的大小→取絕對值較大數的符號→轉化為較大減較小的減法形式→注意括號書寫→計算結果.我們認為很簡單的一個加減計算，如果死扣住法則來開展計算，居然需要七個環節全部正確，才能得到正確答案.

如果結合有理數的起始課，理解正負數是具有相反意義的量，可以互相抵銷，應用“抵消”的觀點，可以比較容易地理解算理：判斷-7與+5異號可以抵銷→抵銷+5→計算剩下沒有抵銷的部分→得出結果.這種方法很明顯所需環節要少一些，學生更容易理解.

而整式加減運算主要有兩個步驟，分別是去括號和合并同類項，去括號的實質是分配律，合并同類項的實質則是分配律的逆運算，兩者的算理都是分配律.明白了算理，對于下列計算：都可以用相同的方法去解決.對于多項式的乘法及乘法公式，其算理實質上也可以還原為分配律.算理明白，公式忘記了也可以自己推導，而算理不明，即使運算準確也是知其然而不知其所以然.

4.過好技巧關：以整式乘除與因式分解起始課為例

數學運算應用哪些技巧可以使運算簡化？運用運算律、整體思想、逆用公式等思考方法都能達到這一目的.而這些卻是要滲透在每一節課堂中的.下面以整式乘除與因式分解為例.

《整式乘除與因式分解》一章分為四大部分：冪的運算、整式乘法、乘法公式、因式分解.其中因式分解是整個初中代數的“拐點”，凡初三代數學習有困難的學生，大部分都是因式分解沒有學好，高中生運算不過關，許多也與此有關系.

那么因式分解應該怎樣學習才比較容易深化為一種技能呢？因式分解實質上就是整式乘法的逆運算，公式學習往往是“正運算”比“逆運算”容易，因此，在學習前面的冪的運算、整式乘法、乘法公式時，如果時時注意挖掘公式的逆用，是可以降低學生學習因式分解的難度的.

例如章起始課“同底數冪的乘法”，先要從算理上讓學生理解公式的實質是乘方的意義與乘法交換律、結合律的綜合應用，這是本課的重點.接下來的練習中可以設置如下的拓展題目：

（1）運用整體思想計算（a-1）2·（1-a）3；

（2）已知am=3，an=2，則am+n=_______，a2m+n=_______.

解決第（1）小題的關鍵是將（a-1）看作一個整體，并將（1-a）轉化為-（a-1），后續知識中許多運算也需要這項技能.

例如：提公因式x（x-y）2-xy（y-x）3=________；化簡

這兩道小題的解決都有賴于“將多項式按降冪排列的習慣”，也得益于整體思想，前面引例中的第VI種錯誤正是明證.

第（2）小題則是公式的逆用，特別是a2m+n=am·am·an這一變化更是將乘法運算都回歸到了加法，這也正是對數學“基本思想”的體現.

以上兩個小題將“整體思想、逆用公式”等方法都涉及了，如果在本章前三個小節的學習中每節課都有適當涉及，相信對因式分解的學習會起到正遷移的效果.

如在冪的運算教學中用好這些題目：比較3100與560的大小；計算根據10x=mn，10y=m，求103x-2y的值.

這些題目設計的用意與起始課中一樣，都是為了讓學生感知和習慣“整體思想、公式逆用”的好處，當真正學習因式分解時，學生會發現每一內容都是前面所學知識的逆用，就不會覺得很困難.同時，這也是對運算技巧的最好訓練！而這一切，卻都要在起始課中就讓學生能體會到！

5.過好綜合關：以各章章引言的教學為例

一道計算題，它所考查的往往是許多知識的綜合應用，例如前面引例中，要想正確化簡，需要養成三個習慣：（1）分子分母及時因式分解；（2）多項式按降冪排列，最高次項化為正；（3）將整式部分看作一個整體.除此外，給出的兩個已知條件，也非常容易出錯.解決這樣綜合性很強的題目，需要學生對這一模塊的知識融會貫通，也就是說正確計算，除了以上的基礎四關外，還要過好綜合關.

數學教材每章節最前面一頁都是本章章引言，它也是章節起始課的重要組成部分，章引言一般由三部分內容構成：本章知識的引例、本章的主要學習內容、本章知識與前后知識的聯系.數與式這個模塊共有六個章節，其中有三章的章引言中提到了“類比……”，有兩章的章引言提到“為后續……的學習打下基礎”.可以說，章引言是對前面知識的回顧，對本章知識的脈絡梳理，和對后續知識的展望，是知識融會貫通的重要載體.所以，在起始課的教學中，利用章引言，回顧知識、梳理脈絡、加強知識的綜合是非常重要的.

數與式這一模塊的章引言我們可以這樣利用：利用有理數一節的章引言中，回顧小學的負數的認識，認清有理數的“符號+絕對值”的結構；利用實數一節類比有理數，強化對“符號+絕對值”的結構的認識，回顧有理數運算先確實符號，后確定絕對值的習慣；利用整式加減一節回顧小學所學的字母表示數的知識，認清字母由數字部分和字母部分的結構，將符號與數學部分捆綁認識；在整式乘除與因式分解一節回顧實數運算與整式加減運算的算理；在分式一節中回顧代數式的概念與分類，回顧分數分母不為零的認識.

二次根式一節是數與式模塊的最后一部分，它的章引言是這樣寫的：“……我們學過整式的運算、分式的運算.如何進行二次根式的運算呢？……通過本章學習，可以為后面的勾股定理、一元二次方程等內容的學習打下基礎”.也就是說在這里我們可以通過回顧代數式的概念及分類，將分式分母不為零、負數沒有平方根等內容進行強化，可以通過對分式運算的復習對分式運算習慣進行回顧……也就是說，數學運算中需要的概念、算理、習慣等都可以在這里作一個簡短的小結，也就是綜合回顧.

有了這樣的認識作基礎，經過五次的強化與回顧，數學運算的基礎已經打得非常扎實，欠缺的只是技巧的熟練運用，只要在后續教學中有意識地安排一些綜合訓練，就能強化學生的數學運算素養.在分式一節中，前面的原題就是一道進行綜合演練的好題，二次根式中也可以用下面的例子來綜合訓練：

本題既有整式中的因式分解，又有分式的化簡求值，還有二次根式的化簡，也有對實數運算的考查，同時還對二次根式的概念作了考查，即要注意a-1<0這一隱含條件，所以.很明顯，這是一道綜合訓練數學運算素養的好題.訓練與檢測是不同的，訓練是為了加強知識的融通，而考查則是對學生學習效果的評判，所以訓練時綜合度較高的題目更利于培養學生的數學素養.

從前面的例子可以看出，如果各章節起始課的教學不能落到實處，則最終綜合反映出來的情況就是負遷移，而且是無法逆轉的負遷移，因為沒有哪個老師會有時間把計算重新地進行梳理和訓練.

所以，數學運算核心素養的培養要想落實在課堂，應當從上好每一節起始課開始，過五關、斬六將，強基礎，練綜合，最終讓運算成為學生數學學習的最牢固基石！

1.彭翕成.例說數學核心素養［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2015（5）.

2.教育部考試中心.能力考試的研究與實踐［M］.北京：中國人民大學出版社，1999.

3.林年生.初中數學章起始課教學課例與反思［J］.中小學教學研究，2015（5）.Z