找準分類標準，解題不重不漏

李秀真

找準分類標準，解題不重不漏

李秀真

分類討論是一種重要的數學思想方法，也是一種重要的解題策略.當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答.分類必須從同一標準出發，做到不重復，不遺漏，包含各種情況.下面結合兩道中考壓軸題講解分類討論思想.

例1（2015·南通）已知拋物線y=x2-2mx+m2+m-1（m是常數）的頂點為P，直線l：y=x-1.

（1）求證：點P在直線l上；

（2）當m=-3時，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，與直線l的另一個交點為Q，M是x軸下方拋物線上的一點，∠ACM=∠PAQ（如圖1），求點M的坐標；

（3）若以拋物線和直線l的兩個交點及坐標原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的m的值.

【思路突破】（1）利用配方法得到y=（x-m）2+m-1，點P（m，m-1），然后判斷點P是否在直線l上即可；

（2）先確定拋物線解析式，根據拋物線與x軸、y軸的交點求出A、B、C三點的坐標，再通過解方程組求得Q、P點的坐標，然后分別過點P、點M作x軸和y軸的垂線構造兩個直角三角形，利用相似的性質得到M點的坐標；

圖1　

（3）通過解方程組得到點M、Q兩點的坐標，再利用兩點間的距離公式得到三角形三邊PQ、OQ和OP的長，在三角形中只要有兩邊相等就可以判斷該三角形是等腰三角形，所以要對三種情況進行分類討論：當PQ=OQ時，當PQ=OP時，當OP=OQ時，最后分別解關于m的方程求出m即可.

【解答】（1）證明：

∵y=x2-2mx+m2+m-1

=（x-m）2+m-1，

∴點P的坐標為（m，m-1），

∵當x=m時，y=x-1=m-1，

∴點P在直線l上.

（2）當m=-3時，拋物線解析式為y=x2+ 6x+5.

當y=0時，x2+6x+5=0，解得x1=-1，x2=-5，

則A（-5，0），B（-1，0）；

當x=0時，y=5，則C（0，5）.

∵P（-3，-4），∴Q（-2，-3）.

過點M作ME⊥y軸于點E，過點P作PF⊥x軸于點F，過點Q作QG⊥x軸于點G，如圖2所示，

∴∠MEC=∠PFA=90°.

∵OA=OC=5，

∴△OAC為等腰直角三角形，

∴∠ACO=45°，

∵∠MCE=∠ACO-∠ACM，

∴∠MCE=45°-∠ACM.

圖2　

∵Q（-2，-3），

∴QG=3，OG=2，

∴AG=OA-OG=5-2=3=QG，

∴△AQG為等腰直角三角形，

∴∠QAG=45°，

∵∠APF=90°-∠PAF

=90°-（∠PAQ+45°）

=45°-∠PAQ，

又∵∠ACM=∠PAQ，

∴∠APF=∠MCE，

又∠MEC=∠PFA=90°，

∴Rt△MEC∽Rt△AFP，

設M（x，x2+6x+5），

∴ME=-x，CE=5-（x2+6x+5）=-x2-6x，

整理得x2+4x=0，

解之得x1=0（舍去），x2=-4，

∴點M的坐標為（-4，-3）.

則P（m，m-1），Q（m+1，m），

∴PQ2=（m+1-m）2+（m-m+1）2=2，

OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，

OP2=m2+（m-1）2=2m2-2m+1.

①當PQ=OQ時，2m2+2m+1=2，解之得m=

②當PQ=OP時，2m2-2m+1=2，解之得m=

③當OP=OQ時，

2m2+2m+1=2m2-2m+1，解得m=0.

【解后反思】此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識點有：二次函數圖像和一次函數圖像上點的坐標特征，二次函數性質，兩點間的距離計算，利用相似比計算線段長等，遇到等腰就想到分類討論思想是本題解答關鍵.

例2（2015·泰州）已知一次函數y=2x-4的圖像與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數圖像上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2.

（1）當P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；

（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當d1+ d2=3時點P的坐標；

（3）若在線段AB上存在無數個P點，使d1+ad2=4（a為常數），求a的值.

【思路突破】（1）由一次函數解析式求出A與B的坐標繼而求出AB的中點P的坐標；

（2）設P（m，2m-4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據d1+d2=3求出m的值；

（3）設P（m，2m-4），利用絕對值的代數意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據存在無數個點P求出a的值即可.

【解答】（1）A（2，0）、B（0，-4），P為AB的中點，

∴P（1，-2），

∴d1+d2=

（2）①d1+d2≥2.

②設P（m，2m-4），

∴d1+d2=

圖3　

當0≤m≤2時，

d1+d2==m+4-2m=-m+4=3，

∴m=1，P1（1，-2）；

當m＞2時，

d1+d2==m+2m-4=3m-4=3.

當m＜0時，

d1+d2==-m-2m+4=-3m+ 4=3，

綜上所述：P1（1，-2）、P2

（3）設P（m，2m-4），

∴d1=

∵P在線段AB上，

∴0≤m≤2，

∴d1=4-2m，d2=m，

∵d1+ad2=4，

∴4-2m+am=4，即（a-2）m=0，

∵有無數個點，∴a=2.

【解后反思】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識點有：一次函數與坐標軸的交點，線段中點坐標公式，絕對值的代數意義以及坐標與圖形性質.熟練掌握絕對值的代數意義是解本題的關鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）