高中“任意角三角函數概念”的教學探究

林遠淵

[摘 要]三角函數是高中數學非常重要的內容，從周期性的角度來說，三角函數是周期函數，同時三角函數也為解決其他問題提供十分重要的工具，與后續學習的很多內容有關聯.學生通過對三角函數的學習，可以深入了解周期性思想，提高解決數學問題的能力.通過大量的研究證實，HPM視角下的教學法可增強學生對“任意角三角函數概念”的理解，學好三角函數具有十分重要的影響.本文基于HPM視角下對高中“任意角三角函數概念”的教學進行了深入的分析和研究.

[關鍵詞]HPM視角 三角函數 教學探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2016）110007

HPM是一種簡稱，它是數學史與數學教學關系國際研究小組的簡稱，該小組是在第二屆國際數學教育大會上成立的.HPM主要是數學史對教學設計等內容進行深入的研究.一般情況下，我們所說的HPM視角下的數學教學就是從數學史與數學教育關系的角度對數學知識進行教學研究.把數學史應用到數學教學實踐活動中，對提高數學教學質量具有十分重要的積極作用.但是怎樣進行正確引入以及具體引入哪些內容，是一個復雜的系統性問題.對我國來說，在數學史與數學教學關系方面的研究比較少，因此在實際教學中有很多教師沒有做好數學史對教學設計等內容進行深入的研究.因此本文從HPM視角對“任意角三角函數概念”進行深入研究，希望能夠對數學史與數學課堂完美融合進行一定程度的探索，為進一步提高數學教學質量開辟新的途徑.

一、HPM視角下高中“任意角三角函數概念”教學學情的分析

通常情況下，學生在開始學習任意三角函數的概念前，已經學習了弧度制.教師要在弧度制的教學過程中有目的、有意識地加入數學史的內容，這樣可以使學生從自己的思想意識中明確為什么要將弧度制引入到數

學教學活動中，同時也能夠幫助學生加深對單位圓的理

解[1].學

生在初中已掌握了銳角三角函數的相關含義，比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文認為教師可以在弧度制的教學講解過程中對銳角三角函數的概念進行復習和回顧，之所以這樣做是因為從本質上來說，弧度制是一種度量方式，最早也是為了解決三角形邊角關系的情況下產生的.為了充分提高教學的質量，在實際的教學過程中，教師應當先不要講述三角函數的定義，而是要等到學生對任意三角函數的概念深入掌握后再將高中和初中的知識進行對比，這樣可以幫助學生建立一個清晰完整的三角函數知識體系.

二、HPM視角下高中“任意角三角函數概念”教學情境設計

學生到了高中階段，其生活經驗和聯想能力都得到了發展和提高.所以教師要從生活的現象入手，激發學生對任意角三角函數的學習興趣[2].如引導學生對鐘表指針的旋轉以及自行車輪子的旋轉進行觀察，因為在這些運動中都存在著180°以上的角度，而且其運動的軌跡都和圓存在著十分直接的聯系.因此從某種角度來說，三角函數也叫圓函數[3].在這種情況下，完全可以借助單位圓引入任意角三角函數的概念.

問題1：怎樣從單位圓的角度出發去理解任意三角函數的定義？

如圖1所示，我們完全可以假設α是一個任意的角，在此基礎上進一步假設α的終邊和單位圓相交于一個點M（x，y）.在這種情況下，首先y就是角α的正弦，即sinα=y；其次，x就是角α的余弦，即cosα=x；y/x就是角α的正切，即tanα=y/x.

問題二：點M（x，y）的坐標和任意三角函數的正負存在著什么樣的內部聯系？

此時，教師要利用這個問題導向，積極引領學生對三角函數的定義進行深入分析，利用該定義對三角函數符號和點M（x，y）的坐標關系進行分析，通常情況下，只要r的值是正數，那么橫坐標和縱坐標的正負就可以直接決定三角函數值的符號.

問題三：在分析和學習三角函數的周期性時，怎么實現對單位圓這一工具的有效利用？

此時，對圖1的單位圓進行深入的分析和實際的計算可以得出這樣一個重要的結論，那就是每當角度轉動了360°或者是360°的整數倍的時候，角的終邊都能夠回到原來的位置上.在這種情況下，三角函數在轉動前后的同名函數值應該是相等的.因此，我們可以對這樣一種現象進行深入的分析和有效的利用，從而能夠通過有效的轉換，變成求0到2π角的三角函數值.

三、HPM視角下高中“任意角三角函數概念”教學效果的問卷調查

為了對HPM視角下高中“任意角三角函數概念”教學效果進行深入的了解和掌握，本次研究做了充分的調查，并在某學校進行了課堂教學的實踐.該學校的文理科比例是1∶4，從總體上來看，理科生對本節課的興趣高于文科班.部分學生認為本次課堂的感覺比較好，比以前更加有趣，還有的學生認識到單位圓具有周期性和對稱性，對用來研究三角函數具有很有效的幫助.總體來說，三角函數歷史悠久，將幾何知識、代數知識等融為一體，教師在教學的過程中應當注意各個知識之間的聯系.

綜上所述，三角函數是高中學習中非常重要的知識內容，從周期性的角度來說，三角函數是周期函數，同時三角函數也為解決其他問題提供十分重要的工具，與后續學習的很多內容有關聯.HPM主要對數學史的教學設計等內容進行深入的研究.因此我們要進一步進行深入思考和研究，采取有效措施，加強HPM視角的數學教學研究，讓學生了解數學的來龍去脈，這樣既有利于提高學生學習數學的興趣，又能夠加深學生對數學知識的理解.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]龔亮亮.“任意角的三角函數”教學設計[J].中國教育技術裝備，2011（4）.

[2]曾榮.高中數學教材“推廣型”內容的教學策略[J].教學與管理，2015（7）.

[3]陳漢裕.關于“任意角三角函數的定義”的教學[J].科技信息（科學教研），2007（7）.

（責任編輯 黃桂堅）