中考數(shù)學(xué)探索型問題的特征分析

孫臻

（甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué)，甘肅 平?jīng)?743419）

中考數(shù)學(xué)探索型問題的特征分析

孫臻

（甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué)，甘肅 平?jīng)?743419）

眾所周知，探索型問題是近年來中考數(shù)學(xué)試題中的熱點(diǎn)問題，因?yàn)榇祟悊栴}有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，有利于學(xué)生主體意識(shí)及主體能力的形成和發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成獨(dú)立的思維品質(zhì)，所以我們老師在中考復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)從探索此類問題的基本題型入手，向?qū)W生闡明解決這類問題的基本思路。

一、探索型問題分類及解決方法

（一）常見類型

①結(jié)論探索型問題：一般是由給定的已知條件探求相應(yīng)的結(jié)論，解題中往往要求充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。②開放探索型問題：開放探索型問題，一般是由給定的結(jié)論反思探索命題，應(yīng)具備的條件。③規(guī)律探索型問題：在一定的條件狀態(tài)下，需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的題目。

（二）解決方法

①直接解法：從已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要求的結(jié)論。②假設(shè)求解法：假設(shè)某一命題成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是否通過推導(dǎo)得出相反的結(jié)論。③尋求模型法

二、例題精講與特征分析

（一）規(guī)律探索型例析

例1.(2012年四川省巴中市,18,3)觀察下列面一列數(shù)：1，-2，3，-4，5，-6，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第2012個(gè)數(shù)是_________

【探析】觀察知:下列面一列數(shù)中,它們的絕對(duì)值是連續(xù)正整數(shù),第2012個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是2012,值偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),故填-2012.

【答案】-2012

【點(diǎn)評(píng)】本題是找規(guī)律的問題,確定符號(hào)是本題的難點(diǎn).

例2.(2012珠海，20，9分)觀察下列等式：

12×231=132×21，13×341=143×31，

23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……

以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對(duì)稱等式”。

(1)根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對(duì)稱等式”：

①52×=×25;②×396=693×.

(2)設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且2≤a≤9，寫出表示 “數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子(含a、b)，并證明.

【探析】觀察上面的等式,發(fā)現(xiàn)“數(shù)字對(duì)稱等式”基本特征,猜想并證明表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子.

【答案】(1)①275,572;②63,36;

(2)(10a+b)=(10b+a)

證明:∵左邊=(10a+b)=11(10a+b)(10b+a)；右邊=(10b+a)=11 (10a+b)(10b+a)；∴左邊=右邊,原等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】本是規(guī)律探索題.考查學(xué)生閱讀理解,觀察發(fā)現(xiàn),推理證明的學(xué)習(xí)能力.

(二)存在探索型例析

例3.（2012湖北省恩施市，題號(hào)24分值12）已知拋物線y=-+ bx+c與一直線相交于A（-1,0），C（2,3）兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)N。其頂點(diǎn)為D。

（1）求拋物線及直線A、C的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；（3）若拋物線對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B以B、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；（4）若點(diǎn)P是該拋物線上位于直線AC上方的一動(dòng)點(diǎn)，求△APC面積的最大值

【探析】（1）直接將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-+bx+c和y=kx+b即可。

（2）本題實(shí)質(zhì)是在直線x=3上找一點(diǎn)M使MN+MD的值最小。作N關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)，連接DN1，求直線DN1和x=3的交點(diǎn)可得m的值；

（3）BD、EF是平行四邊形的鄰邊，分點(diǎn)E在線段AC和線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上兩種可能來考慮。BD長(zhǎng)可求，EF=BD，點(diǎn)F和點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)F縱坐標(biāo)等于點(diǎn)E縱坐標(biāo)加（或減）BD長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)E（x,y），則點(diǎn)F坐標(biāo)（x,y+3）,代入拋物線表達(dá)式可求解；

（4）作CQ⊥x軸于Q，作PG⊥x軸，交AC于H，則點(diǎn)H和點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同，設(shè)二者橫坐標(biāo)為x，根據(jù)直線與拋物線表達(dá)式可用分別表示出相應(yīng)縱坐標(biāo)，進(jìn)而用x表示PH的長(zhǎng)度，根據(jù)△PAC面積等于PH×AQ（AQ為定值）可討論其最值。

【點(diǎn)評(píng)】本題是存在性探索性問題，在解決這一類存在性探索問題時(shí)主要應(yīng)注意：首先假定這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)存在，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，將其構(gòu)造出來；然后再根據(jù)已知條件與有關(guān)性質(zhì)一步步地進(jìn)行探索，如果探索出與條件相符的結(jié)果，就肯定存在，否則不存在，探索過程就是理由.本題主要考查了用待定系數(shù)法求解析式、勾股定理、解方程組等，用到的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)有函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)稱思想、分類討論思想等，題目綜合性強(qiáng)、難度大，但是考查的知識(shí)面較廣，是一個(gè)區(qū)分度很大題目。

（三）結(jié)論探索型例析

例4.（2011黑龍江龍東五市3分）在銳角△ABC中，∠BAC= 60°，BN、CM為高，P為BC的中點(diǎn)，連接MN、MP、NP，則結(jié)論：①NP= MP ②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，MN∥BC ③BN=2AN④AN∶AB= AM∶AC，一定正確的有()

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

【答案】C。

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與和性質(zhì)，平行的判定，銳角三角函數(shù)的定義。

【分析】①由BN、CM為高，P為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得NP=MP。故①正確。

②由BN、CM為高與∠A是公共角，易證△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，則得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。故②正確。

③若BN=2AN，需∠ABN=30°=∠ABC，這個(gè)條件已知沒有，故③錯(cuò)誤。

④由②△AMN∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，即可證得AN：AB=AM：AC。故④正確。

綜上所述，一定正確的有3個(gè)：①②④。故選C。

由上可知，探索型問題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求師生在復(fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.

孫臻（1972-），男，甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣三合中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教法和學(xué)法。