小數陣，大作用——以一節比賽課為例

筅浙江省寧波市鄞州區正始中學　何衛華

筅浙江省寧波市鄞州區正始中學方勇

小數陣，大作用——以一節比賽課為例

筅浙江省寧波市鄞州區正始中學何衛華

筅浙江省寧波市鄞州區正始中學方勇

筆者于2016年4月28日參加了區里的教壇新秀評比，課堂教學環節是根據一道試題上一節復習課，在數學組全體教師的大力支持幫助下，筆者獲得了一等獎的佳績.在整個比賽的過程中，筆者感悟頗深，遂撰文與大家分享，不當之處，望大家批評指正.

題目：以2016年4月浙江省普通高中學業水平考試23題為引例，上一節“一題一課”的數列復習課.

如圖，將數列｛an｝（n∈N*）依次從

左到右，從上到下排成三角形數陣，其

中第n行有n個數.

（Ⅰ）求第5行第2個數；

（Ⅱ）問數32在第幾行第幾個；

（Ⅲ）記第i行的第j個數為ai，j（如a3，2表示第3行第2個數，即a3，2=10）

的值.

一、教學定位

該題是以數陣形式給出的，如果上成一節數陣研究的課，那就偏離了數列復習課的主題，所以應該定位為一節以數陣為載體的數列通項、求和的復習課.授課對象為區內基礎較好的高一學生，學生已經較好地掌握數列的基本知識.因此，以數陣為載體來復習數列知識，可以更好地培養學生觀察、發現、猜想、論證的能力，加深對數列基礎知識的理解，提高靈活運用知識的能力.通過學生的動手實踐，操作確認，合作交流，使學生的思維水平有所提高.

二、教學過程

1.創設情境，引入新課

人們從來沒有停止過對數的研究，把一些數按照一定順序排成一列，我們稱之為數列；如果把一些數按照一定順序排成某種圖形，我們稱之為數陣.打個比方，如果我們把數列比作一條“線”，數陣就可以比作一個“面”.我國古代有名的“楊輝三角”就是數陣的典型代表.既然數列和數陣都是把數按照一定順序排列的，那它們之間必然會有一些聯系，我們就嘗試尋找它們兩者的聯系.眾所周知，問題是數學的心臟，今天就從一道學考試題開始我們的探索之旅（ppt展示試題的前兩小題）.

（設計說明：點明主旨，數列和數陣有一定的聯系，可以為將數陣問題轉化為數列問題作好鋪墊.楊輝三角是著名的數陣問題，可以激發學生學習興趣，增強民族自豪感.）

2.類比概念，建構新知

師：數列中的第n項我們可以用符號an表示，那么我們數陣中的數可以用什么符號表示？

（設計說明：高一學生還沒有接觸過數陣，雖然試題第3小題中有對數陣中數的記號有注釋，但是我們可以讓學生合情推理，把數陣可以比作一個“面”可以使學生聯想到兩個坐標自然地得到數陣中數的符號表示，是不可多得的一次類比，也可以使學生體會到數學是自然的.）

生：第i行的第j個數記為ai，j，i，j是正整數.

3.變式拓展，加深認識

師：很好.（ppt展示第3小題.）同學們思考一下這3個小題.

……

師：這道題同學們都是通過補全數陣解答的，方便實用.第3小題采用了裂項求和的方法，答案都是正確的.我們現在將第3小題改為求的值（ppt展示題目），關鍵是什么？

生：求出ai，i.

師：原數陣中的數雖然已經比較簡單，我們可以再簡單一些，可將數陣改為

（板書，本節課一直會用到）.這樣一來，我們新數陣中ai，i就是原數陣中的ai，i的一半，解決了新數陣中的ai，i原問題就解決了.同學們思考一下新數陣中ai，i該如何計算.

（設計說明：將問題一般化，解法一般化，提升思維.數陣的轉化體現了化歸，復雜問題簡單化也是一般解題策略.轉化后的數陣是本節課的一個基本模型，貫穿始終.）

生：我將1，3，6，10，…排成一列，求ai，i就是求該數列的第i項.觀察到：1=1，2=1+2，6=1+2+3，那么第i項就是1+ 2+…+i=.師：很好.通過觀察、歸納得到了答案.數學不僅需要合情推理，更需要推理論證.這里1=1，2=（1）+2，6=（1+2）+3說明什么？

生：第二項起，后一項在前一項基礎上加上行數.所以可以用累加法求通項.

師：很好，這里我們沿用數陣中的記號來書寫.（板書：ai，i=（ai，i-a（i-1），（i-1））+…+（a2，2-a1，1）+a1，1=i+（i-1）+…+2+ 1=）數陣問題可以轉化為數列問題求解.

（設計意圖：培養學生觀察，分析，猜想，歸納的能力.使學生體會將陌生問題熟悉化是常見解題策略.復習基本求數列通項方法，裂項求和法.）

4.建立模型，揭示本質

師：求新數陣中的ai，1.

生：ai，1=a（i-1），（i-1）+1.

師：很好，發現了前后項之間的關系，那么ai，j怎么用i，j表示？

生：ai，j=a（i-1），（i-1）+j.

師：很好，那么ai，j=ai，1+？

生：j.

生：j-1.在第i行中，ai，j相當于數列中的通項，ai，1相當于首項，因此加上的應該是j-1.

師：如果將新數陣的數“拉直”，那就成了：1，2，…，n，…，我們令n=ai，j，得到n=模型建立）.這就找到了數陣中的項數n與i，j之間的關系.其中i取正整數，1≤j≤i，且i∈N*.

（設計意圖：數陣問題中主要是求ai，j，將數陣問題轉化為數列問題是常見解題策略.通過探究，得到數陣中的ai，j與轉化后數列項數n之間的轉化關系，為接下來的教學打下基礎.）

5.應用模型，歸納提升

師：今天是2016年4月28日，4在新數列中排在第3行第1個數，那么28排在第幾行第幾個數？

生：通過補全數陣，是第7行第7個數.

師：第7行的最后一個數.但當數字比較大的時候補全就有困難了，我們能找到更好的方法嗎？可以找小組同學討論……（討論聲）

師：好，這里先求i再求j，還有別的解法嗎？

師：我們可以先求i接下來再求j，那這里有2個變量，如何變成一個變量？

生：去掉j.轉化為關于i的不等式，因為j>0，28> i（i-1）

2.只要求出滿足不等式的i的最大正整數就可以了.

師：這里可以去解一元二次不等式，通過i是正整數就可以確定.

生：i取7.

師：j怎么求？

生：i=7.

師：對的，為什么？

師：這種題型我們都是先確定i再求j.新數陣這個模型得到的結論可以為我們求i，j提供方便.我們的感悟是：我們平時應該積累更多的數學模型，解題時可以獲取靈感.接下來我們求解2016在新數陣中是第幾行第幾個數？看誰解得快.

……

師：怎么得到i=63？

生：是湊的.

師：湊功很好！（全班笑聲）怎么湊的？

生：先確定i大概是60幾的數，我湊了65，發現高了，再湊63，剛好！

師：二分法學得很好，值得我們學習，怎么確定i大概是60幾的數？

師：很好，給出了一個估算的方法.今天是個不錯的日子，冥冥中暗示我們數陣學習的方法.我們發現4在數陣行“首”，28和2016在行“尾”，數陣中求ai，j不就是看首看尾找規律嗎？（全班響起了熱烈的掌聲.）

（設計意圖：該題型是學考題的拓展，給出更一般的解法，也是數列和數陣轉化的一個應用，最后的小結更是靈光一閃.比賽課教學設計最好有時效性的設計.）

師：求新數陣中前i行的和？關鍵是確定什么？

生：首項，末項，項數，項數就是ai，i.

……

（設計意圖：求和公式復習）

6.靈活應用，內化新知

師：剛才我們把數陣簡單化，現在來看一個比較復雜的問題.我們將數陣換為（ppt展示），求ai，j？

師：求第i行的和？

……

（設計意圖：模型結論的簡單應用，復習等比數列和公式）

師：難度增加，看一個更復雜的問題.

（ppt展示例2）設｛an｝是集合｛2s+2t|0≤s

學生思考……

生：按照規律將數字改寫：3=21+20，5=22+20，6=22+21……接下去就不知道了.

師：有時數列問題也可以轉化為數陣問題求解.……

（設計說明：逆向思維，數列問題轉化為數陣問題，也可以用基本模型解決該問題.）

7.小結歸納，畫龍點睛

今天，我們以數陣為載體從一道題學考題開始復習了通項的求法，數列求和方法.在解題中運用了猜想，歸納，特殊到一般的數學思想方法，我們構造了一個數學模型，并體會了數學模型在解題中的作用，我們平時要加強數學模型的積累.課堂上涉及的將復雜的問題簡單化，陌生的問題熟悉化，熟悉問題規律化等這些解題策略也必將會給我們今后的解題實踐以啟發.

三、教學啟示

1.數學教學應重視本質的揭示

由于數學高度抽象的特點，在教學中要通過典型例子的分析和學生自主探索活動，引導學生經歷從具體到抽象，特殊到一般，理解數學結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法.在數學教學中，要強調對數學本質的認識.因此，高中數學教學應該返璞歸真，努力揭示數學結論的發展過程和本質.

2.學生是學習的主體

現代建構主義教學觀認為：“學生是數學學習的認知主體，知識只是在它與認知主體在建構活動中的行為相沖突或相順應時才被建構起來.”教學中應充分發揮學生的主觀能動性，教師要鼓勵學生積極參與教學活動，做好引導、組織.學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學、收集資料、調查研究、撰寫論文等學習數學的方式，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，課堂上盡可能多地展示學生的成果，激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，發展他們的創新意識，因為“告訴我，我會忘記；分析給我聽，我可能記住；如果讓我參與，我會真正理解”.

3.數學思想的教學

數學思想的形成是一個較漫長的、螺旋上升的過程，這就需要教師在上課時將用數學思想思考問題的意識貫穿高中整個教學過程，站在系統的高度，引導學生用聯系的觀點看問題.數學思想也是一個人學習，工作所必須的一種能力，這就需要教師將對學生數學思維能力的培養滲透到平時教學的點點滴滴之中，通過各種不同的知識作為載體培養學生思維的能力，通過量的積累促使學生達到質的變化，真正體現數學培養人的意義和價值.

4.課堂中要有“三聲”

我區的前輩老師認為一節好課一般要有“三聲”，即“笑聲、討論聲和掌聲”.有笑聲說明學生在課堂的學習過程中身心是愉悅的，良好的心情更有利于學習效率的提升，也可以活躍課堂氣氛；有討論聲說明學生在課堂上有和其他學生進行思維的碰撞，有利于學生在小組交流的過程中鍛煉語言表達能力，思辯能力和合作探究能力；有掌聲說明學生對學生的認同，或學生對老師由衷的信服，有利于激勵學生，提高學生學習數學的興趣.當然，我們也沒有必要刻意地追求“三聲”，“三聲”的產生離不開教師精心的設計，更多的是課堂上自然的生成.

5.“一題式”教學

本課例采用“一題式”教學，即以一道題貫穿課堂始終的課型.這樣的課例并不少見，在作業分析課，試卷講評課，習題課，尤其在復習階段該課型較多.教學方法主要有：（1）方法歸納型，通過一題多解，在應用中暴露學生思維的盲點，教師和學生一起歸納解題的方法，規律，在原有認知基礎上實現認知“升華”；（2）本質揭示型，講究步步為營，可以對原題的條件或結論進行改編，拓展，按照知識難易程度安排例題，練習，構建學生共同的發展平臺，循序漸進.無論是采用哪種方法，目的只有一個，從學生的探索、討論中，從師生交流中，從課堂的意外中獲得感悟的時候，使學生學會“總結、反思、提煉、升華”.通過對一道題從不同角度的拓展和引申，提升學生的分析問題，解決問題的能力.

四、結束語

復習的主要任務就是回顧知識，梳理方法，積累解題經驗，提高應對能力.每當遇到新情景、新問題時，教師要引導學生將每個知識點置于系統之中，從系統的角度去理解，把握每一個概念，就不會孤立地看問題，自然地會用聯系的觀點看問題，換個角度看問題，從而在完成知識建構的過程中實現了數學思想的滲透和哲理觀點的升華.

1.王慧.數陣問題面面觀［J］.中學數學（上），2010（12）.

2.吳生旭.數陣與數表問題解題策略［J］.福建中學數學，2009（3）.Z