淺談在探究規律性問題教學中培養學生學習數學的興趣

【摘要】隨著高職院校招生規模的不斷擴大，入學門坎降低，學生數學基礎普遍較薄弱，加之數學非專業課，又較抽象難學，學生怕學厭學現象明顯、突出，如何培養他們學習數學的興趣，調動他們主動學習的積極性，已成為數學教學成敗的關鍵。本文從探究規律性問題教學的三個方面，談談如何培養學生學習數學的興趣。

【關鍵詞】規律性教學 培養學生 數學 學習興趣

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0163-03

美國著名數學教育家波利亞依據數學學習規律，提出教學的第一條原則就是：讓學生主動學習。如何讓學生主動學習？筆者認為，培養他們學習數學的興趣是最行之有效的方法之一。孔子說“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，愛因斯坦說“興趣是最好的老師”。陳景潤為摘取數學皇冠上的明珠，勇攀“哥德巴赫猜想的高峰”，除了胸懷報效祖國的遠大理想，更主要的還是他在福州英華中學讀書時有幸聆聽了沈元教授的數學課對數學產生了濃厚的興趣，特別是研究證明“1+1”：任何一個大于2的偶數都可以表示成兩個質數之和這神奇奧秘的規律，使他如癡如醉。培養學生學習數學興趣的方式方法多種多樣，如讓學生懂得學習數學的重要意義，激發學習動機，了解數學應用的廣泛性，介紹數學發展史，講數學家的故事等，但探究發現規律性問題的教學，更易激發學生的學習興趣。在探究規律性問題的教學中，會發現許多蘊含著的數學美，許多有一定規律性的記憶方法和解題方法，會使學生產生比較強烈持久的學習興趣。

1、在探究規律性問題教學中用數學美培養學生學習數學的興趣

根據美國芝加哥大學心理系研究，全世界大約每5個人中就有1個數學恐懼癥患者。在不少學生看來，數學就是“一個又一個公式、符號、定理、習題的堆積，它們是如此的抽象、散亂，遙遠，不可琢磨，”毫無美感可言。但數學本身就是一門系統性和規律性很強的學科，它的本質是美的，“在冰冷的邏輯推理中，有一大堆生動的故事，冰冷美麗的外表下，有著樸素而火熱的思考”。著名數學家龐加萊說：數學中的美，“那就是各部分之間的和諧，對稱，恰到好處的平衡···，一句話說就是秩序井然，統一協調····”。教學中，教師要挖掘出數學中蘊含的美，有意識的展現出這些美來，讓學生感受到數學的美，拉近數學與學生的距離，引起他們學習數學的興趣。在探究規律性問題的教學中，數學的美不勝枚舉。如，在探究二項展開式中的二項式系數之間的變化規律時，用楊輝三角表示： 1

立即給人一種對稱協調美的感受。 1 2 1

如，在探索指數函數與三角函數這兩種截然不同函數

1 3 3 1

之間的聯系時，大數學家歐拉發現了聯系它們的被稱為

1 4 6 4 1

數學中的“天橋”：eiθ=cosθ+sinθ，當θ= 時，得公式：eiθ+1=0 ，被偉大近代數學家F.克萊因稱為“整個數學中最卓越的公式之一”，它將數學中最重要的五個數0、1、 、i、e聯系起來，讓人看了簡單、統一之美油然而生。如，重要基本初等函數y=ex的麥克勞林級數ex= + + + +···+ +···（x∈R，x≠0）【1】每一項的分子分母顯得是那樣的秩序井然，極有規律性，讓人看了不能說不美。如，在探究斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，··· 的通項公式時，讓學生觀察前幾項后不難發現從第3項起，后1項總是前兩項之和，即an+2=an+1+an（n∈N+，下同），它是那么有規律，它的通項公式中含黃金分割值φ= =0.6180339887···，φ的漸近分數是： ， ， ， ， ， ， ， ， ···【2】 這一串漸近分數的分子分母依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34···，它恰好是一個斐波那契數列，這個性質使得斐波那契數列在優選法中得到了應用（0.618法）。在美學中，黃金分割有著不可估量的意義，那些最偉大的美術作品中每一個細節的構圖都充分展示了黃金分割之美（如達芬奇名畫《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉符合“黃金矩形”）。在人體中黃金分割也無處不在，肘關節、膝關節、肚臍分別是整只手臂、整條腿和整個人的黃金分割點處。又如，講完教材第5頁例11【3】 后，不妨引導學生探究一下集合交、并、補三種運算之間的關系，不難發現： = ， = ，（ 分別表示全集U的補集），事實上這兩個等式都具有一般性，就是德.摩根定理，它們把集合的三種重要運算之間的關系用簡單，諧調之美的形式呈現在學生面前。再如，很有趣味的外觀數列雖然教材上沒有涉及，也不妨給學生做簡單介紹：

1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211···它從數字1開始，第n+1項是對第n項的描述（比如，第2項是11，描述是2個1，第3項就是21，第5項是111221，描述是3個1，2個2，1個1，第6項就是312211） ，讓學生通過描述寫出前幾項。它有許多有趣的性質：數列中除1、2、3其它數字永遠不會出現；第n項L（n）隨著n的增大越來越長，而

=λ=1.303577···（λ叫康威常數，是一個重要的無理數），λ是一個71次方程的唯一實數解，學生了解后會倍感數學的神奇美妙。

2、在探究規律性記憶方法的教學中培養學生的學習興趣

記憶是人類積累知識增加智慧的基本條件。我國古代著名學者張載說“不記則思不起”。數學中的定義、定理、公式和性質等是反映數學本質屬性和屬性之間關系的，它們的應用非常廣泛，能否牢固記憶并靈活應用是學好數學的重要前提。不少學生對定理、公式和一些必須牢固記住的重要知識，只會死記硬背，效果很不好，嚴重影響著他們學習成績的提高。教學中，要注重引導學生探究一些常用定理、公式、重要性質和知識的變化規律、特點和聯系，在幫助他們提高記憶效果的同時，也培養了他們的學習興趣。如，對幾個特殊銳角00，300，450，600，900的三角函數值，在三角函數、平面向量、解析幾何及微積分學等的學習中常常用到，但不少學生總是不能熟練記住。其實，只要先記住正弦的值，并且分子都改成用根式表示，分母都用2表示，即為： ， ， ， ， ，變化很有規律性，只要將上述五個值顛倒一下順序即得余弦的值，據商數關系得正切的值，又據倒數關系就得余切的值。如，三角函數的誘導公式共54個，在求值、化簡、證明中隨時用到，死記硬背是很難記住的。教學中，可引導學生觀察，這些公式左右兩邊的三角函數名稱為何有的相同有的不相同，右邊符號有的有“-”號，有的沒有“-”號，通過觀察不難發現：將 （*）的三角函數化為 的三角函數時名稱都要改變，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切，正割變余割，余割變正割；而將2k + 、 ± ，2 - ，- （**）（k∈Z，下同）的三角函數化為 的三角函數時名稱都保持不變，因為 中n取奇數1和3得（*）組角，n取偶數4k、2、4、0得（**）組角，因此可將上述變化規律總結為一句話“奇變偶不變”；當把 看成銳角時，2k + 與 ， 與 - ， ， 及- 分別可看成一、二、三、四象限的角，據左邊三角函數值符號，為正時右邊無“-”號，為負時右邊有“-”號，可總結為一句話“符號看象限”。這樣，在理解的基礎上，記住上述兩句話54個誘導公式就永遠記住了。又如，用高斯倒序相加法推導出等差數列的前n項和公式后，可以提示學生，若把首項a1、第n項an和求和項數n分別看成梯形的上底、下底和高，那么此公式就可以用他們很熟悉的梯形面積公式記憶。再如，求函數導數是微積分學的核心知識，用復合函數的求導法則（鏈式法則）求復合函數的導數是一個教學難點，學生常常犯“遺漏”的錯誤。如果將幾個重要初等函數的求導公式稍加變形，在后面多乘一個xˊ，（xˊ=1）即如原來的（xα）ˊ=αxα-1，（lnx）ˊ= ，（sinx）ˊ=cosx···分別變成

（xα）ˊ=（αxα-1）xˊ，（lnx）ˊ= xˊ，（sinx）ˊ=（cosx） xˊ···，學生只要理解了左邊的x變成什么樣右邊的x跟著變成什么樣，那么求復合函數的導數就是上述變形后公式的反復運用。如求復合函數y=ln 的導數：yˊ= （ ）ˊ= [（sin2x） ]ˊ= （sin2x） -1（sin2x）ˊ= （cos2x）（2x）ˊ= =cot2x。

3、在探究規律性解題方法教學中培養學生的學習興趣

波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。1976年國際數學管理者協會把解題能力列于十項基本技能之首。為幫助學生提高解題能力，教師不能局限于教材，對一些帶有一定規律性的解題方法應該引導學生從簡單到一般逐步深入地進行探究，一旦被學生掌握，不僅幫助學生提高了解題能力，也會增強他們學習的興趣。如，求下列數列的通項公式：（1）0，1，0，1，···，（2）3，-7，3，-7···，【4】（3）0.7，0.77，0.777，0.7777···，（4）設數列{an}中a1=2，an+1= an+n（2008年高考四川卷文科數學試題16題）。（1）題學生經過思考可以“湊出” an= ，（2）題就很難“湊出”了，它至少有三種解法，（1）、（2）題其實是都是周期數列；（3）題可以用不完全歸納法求出，但技巧性較強；（4）題就基本沒有學生能夠解出來了。求上述這些數列的通項公式是否有一種統一的又較容易掌握的解題方法呢？答案是肯定的，就是“逐差與迭加法”。先做差a2-a1=f（1）， a3-a2=f（2）， a4-a3=f（3），···an-an-1=f（n-1），然后將這些等式左右兩邊相加得an-a1= f（1）+ f（2）+ f（3）+···+f（n-1），而f（1），f（2），f（3），···，f（n-1）是一個等差數列或等比數列，據等差數列或等比數列的前n項和公式可求出它們的和，從而就可求出an。“逐差與迭加法”還有其它一些應用，如求重要數列12，22，32，···n2與 13，23，33，···n3等的前n項的和。又如，多數學生都會用圖像法解一元二次不等式，但對一元三次以上的不等式一般都不會解，如解下列不等式：（1）x3-2x2-15x<0，（2）（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）>0，教師可以教會學生用圖像法解：設不等式左邊=f（x），解方程f（x）=0得實數根x1 x2， x3···，將它們在x軸上標出來，然后從最大一個根的x軸上方從右至左畫一條曲線穿過所有的根（見圖1、圖2），據圖即可得到所求（1）的解和（2）的解分別為{x∣x<-3或02}。可以引導學生進一步思考此種解題方法（俗稱“穿根法”），能否解更難的無理分式不等式嗎？答案是肯定的，如解不等式： >0（2010年高考全國卷二理科數學試題一、5），只要將使分子分母分別為0的兩個方程的所有實數根都在x軸上標出來，用“穿根法”立即就可得正確的解，比教材上介紹的化為不等式組或列表法求解，要迅速簡捷的多。一般而言，一元高次不等式和無理分式不等式都可以用“穿根法”求解。學生對學習這些具有一定規律性能解決較多難題又容易掌握的解題方法是很感興趣的。

諾貝爾獎獲得者楊振寧博士說：“成功真正的秘密就是興趣”。學生若被動學習，久必生厭，要讓學生主動學習，首先就得讓學生對所學的課程感興趣。因此，作為一線教師應依據數學的教學規律，結合學生實際，不斷改進教學方法，有所創新，在日常教學中要想方設法激發和培養學生的學習興趣才能取得事半功倍的教學效果。

參考文獻：

[1]盛祥耀《高等數學》[M]，高等教育出版社·北京，2008年2月第4版，第276頁。

[2]陳通鑫 劉嘉琨 王占元 方金秋《數學小詞典》[M]，測繪出版社，1982年5月，第242頁。

[3]張愛芹《數學》[M]，人民衛生出版社·北京，2004年1月，第5頁。

[4]唐雨生 謝廷津 李才等《高中數學復習105講》[M]，云南大學出版社，1993年5月，第133頁。

作者簡介：

楊星光，云南德宏職業學院教授，男，漢族，云南騰沖縣人1958年9月生。1982年1月云南大學數學系數學專業本科畢業，學士。2010年12月西南大學教育與心理管理方向在職研究生班畢業。從事高中、中專和大學數學教學35年。現研究方向：微積分教學及應用。