立體幾何中的軌跡問題

方炫蘇●

武漢理工大學理學院(430070)

?

立體幾何中的軌跡問題

方炫蘇●

武漢理工大學理學院(430070)

在知識網絡交匯點處設計試題是高考命題改革的一個方向，以空間問題為背景的軌跡問題作為解析幾何與立體幾何的交匯點，由于知識點多，數學思想和方法考查充分，求解比較困難.通常要求學生有較強的空間想象能力，以及能夠把空間問題轉化到平面上，再結合解析幾何方法求解.以下精選幾個問題來對這一問題進行探討，旨在探索題型規律，揭示解題方法.

一、用空間運動的觀點來得到點的軌跡.

例1 直線PA是平面M的一條斜線，斜足為A，動直線PB過點P且與直線PA垂直，且交平面M于點B，求動點B的軌跡.

解 先探討直線PB的運動軌跡，由于直線PB始終與PA垂直，可知PB的運動軌跡應是直線PA的垂直平面N.再結合點B一定在平面M內，所以點B的軌跡應該是兩個平面的交線，所以點B的軌跡是一條直線.

針對以上解法，我們對這一問題作一深層次的探討：若直線PA與平面M成α角，直線PB始終與直線PA成β角，再來求點B的軌跡.

由上述解法可知，我們只要得到直線PB的空間軌跡，再來考查該軌跡與平面M的交線即可.由簡單的模型模擬即可知，直線PB的軌跡是一個圓錐面，再用一個平面截圓錐面，這一知識在平面解析幾何中圓錐曲線的來歷中有提到，即所得曲線可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們有以下命題：

直線PA是平面M的一條斜線，且與平面M成α角，斜足為A，動直線PB過點P且與直線PB成β角，交平面M于點B，求動點B的軌跡.

結論：(1)若α=90°，β≠90°，則動點B的軌跡是一個圓；

(2)若α≠90°，β=90°，動點B的軌跡是一條直線；

(3)若α≠90°，β≠90°，則

①若90°>α>β，則軌跡是橢圓；

②若α=β，則軌跡是拋物線；

③若α<β，則軌跡是雙曲線.

用上面的觀點我們來看下一例：

例2 已知平面α∥平面β，直線l?α，點P∈l，平面α、β間的距離為8，則在β內到點P的距離為10且到直線l的距離為9的點的軌跡是( ).

A.一個圓 B.兩條直線 C.四個點 D.兩個點

解 空間中到直線的距離為定值的點的軌跡是一個圓柱，平面與圓柱的交線是兩條直線.空間中到一點的距離為定值的點的軌跡是一個球面，平面與球面的交線是一個圓.在平面內兩條直線與一個圓的公共點結合具體數據，可知，軌跡是四個點.

變式訓練1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是棱CD的中點，點O是側面AA1D1D的中心，若點P在側面BB1C1C及其邊界上運動，并且總是保持OP⊥AM，則動點P的軌跡是____.

變式訓練2 兩根直立的旗桿相距14米，高分別是6米和8米，地面上的點P到兩根旗桿頂的仰角相等，則點P在地面上的軌跡是( ).

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線

變式訓練3 直線m與平面α間的距離為h，那么到直線m與平面α的距離都為2h的點的集合為( ).

A.一個平面 B.一條直線 C.空集 D.兩條直線

變式訓練4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BB1C1C內一動點，若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是( ).

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

變式訓練5 如圖，定點A和B都在平面α內，定點P?α，PB⊥α，C是α內異于點A和點B的動點，且PC⊥AC，那么動點C在平面α內的軌跡是( ).

A.一條線段，但要去掉兩個點

B.一個圓，但要去掉兩個點

C.一個橢圓，但要去掉兩個點

D.半圓，但要去掉兩個點

二、用解析的方法來求軌跡

空間解析幾何雖然不是高考要求，但空間向量的應用以及空間坐標系的使用對于立體幾何問題的解決也引入了解析的方法，對于軌跡的處理，同學們還是熟悉平面內的問題.因此把空間問題平面化，正是空間解析法中的重要應用.

例3 空間四面體ABCD中，在側面ABC上有一動點P，滿足P到直線AB的距離與P到平面BCD的距離相等，試求P點的軌跡.

解 點P到平面的距離與點P到直線BC的距離的比例關系正是二面角的A-BC-D的平面角的正弦值.因此，在平面ABC內，點P滿足的條件是P到直線AB的距離與P到直線BC的距離成比例.因此點P的軌跡是一條過B點的直線.

例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，側面ABB1A1內有一點P滿足：點P到直線AB的距離與點P到直線AD1的距離相等，求點P的軌跡.

所以軌跡是兩條直線.

例5 圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(包括圓周).若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為( ).

用平面解析幾何的方法來處理空間中的軌跡問題的關鍵有二條，一條是空間問題平面化，要把題中的條件想辦法轉化到平面上來，另一個關鍵是把平面內的問題盡可能地解析化，用數量關系來研究幾何關系，從而得到軌跡，當然在解析幾何中也有很多數與形相結合的題型.因此以空間圖形為背景，考查幾何軌跡的典型例題很多時候也是這個方面的問題.

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對

變式訓練7 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，線段EF的兩端點分別在棱A1D1、AB上滑動，且EF=2，則EF的中點的軌跡是( ).

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

變式訓練8 如圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內的一動點，且滿足MP=MC，則M在正方形ABCD內的軌跡為(O為正方形ABCD的中心)( ).

變式訓練9 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是四邊形A1B1C1D1內部及其邊界上的動點，若異面直線AP與A1B1所成的角始終保持π/6，則點P軌跡的形狀是 ( ).

A. 圓 B.橢圓 C. 雙曲線 D.拋物線

變式訓練11 在棱長為1的正方體中ABCD=A1B1C1D1，M、N分別是AC1、A1B1的中點．點P在正方體的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構成的軌跡的周長等于____．

以上二種題型只是空間背影下的動點軌跡的處理方法的兩種典型，空間的動點要用運動的觀點觀察，要求熟悉一些常見的幾何模型，利用曲面與曲面的相交情況來得到動點的軌跡，另一方面，利用數與形相結合的方法，用解析的方法來研究空間軌跡，也是立體幾何的主要思想，把立體問題平面化來簡化問題，從而為我們用平面解析幾何的方法來研究空間問題提供方便，更為空間解析幾何的思想在立體幾何中的應用做好準備.

變式訓練答案

1.線段BB12.B 3.D 4.D 5.B 6.A

G632

B

1008-0333(2016)28-0019-02