GV-半群的矩形群同余

王 宇

(安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

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GV-半群的矩形群同余

王 宇

(安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

利用GV-半群中元素的弱逆和核-超跡的方法,通過建立矩形同余對(duì)來描述GV-半群的矩形群同余的性質(zhì)，并給出矩形群同余的一個(gè)表示．

GV-半群；矩形群同余；弱逆；自共軛

半群是一個(gè)滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng).在一個(gè)多世紀(jì)的半群代數(shù)理論歷史中，對(duì)正則半群的研究一直占主導(dǎo)地位.近三十年，對(duì)非正則半群的研究引起代數(shù)學(xué)者的重視．GV-半群是廣義的完全正則半群，因此，它是與完全正則半群性質(zhì)最為接近的非正則半群．研究畢竟正則半群的最常用方法就是把正則半群中已知結(jié)果推廣到畢竟正則半群中．同余是正則半群研究中的一個(gè)重要工具，并已取得廣泛的結(jié)果，核-跡方法是正則半群中研究同余的一個(gè)重要方法，Gomes發(fā)展了核-跡方法而定義了核-超跡方法．羅彥鋒教授使用這種方法在畢竟正則半群中研究同余．本文就是利用核-超跡方法來研究GV-半群的矩形群同余．首先，給出文中所需要的基本概念和定義．

1 基本概念及定義

半群S稱為畢竟正則半群，若S的每個(gè)元素a都存在一個(gè)整數(shù)冪n，使得an是正則的．半群S稱為GV-半群,如果S是畢竟正則的，且S中每一正則元都是完全正則的；半群S的元素x稱為a的弱逆，若xax=x,a∈S，用W(a)表示S中所有a的弱逆的集合，半群S稱為矩形群，若S是正則半群，且ES是矩形帶．半群S上的同余稱為矩形群同余，若S/ρ是矩形群．設(shè)ρ是半群S的同余，定義S的子集{a∈S|aρ?E(S/ρ)}為ρ的核，記作kerρ．把ρ限制在上稱為ρ的超跡，記為htrρ．以下文中如沒有特別說明S均指GV-半群．

定義1 S的一個(gè)子半群K稱為正規(guī)的，若

(1)a∈K,a′∈W(a)?a′∈K；

(2)ES?K；

(3)a∈S,a′∈W(a)?aKa′,a′Ka?K．

定義2 S的子半群上的同余ε稱為正規(guī)的，若對(duì)任意x,y∈，a∈S和a′∈W(a)，有xεy?axa′εaya′，a′xaεa′ya,其中axa′，aya′,a′xa,a′ya∈.

定義3 設(shè)ε是上的正規(guī)同余，且/ε是矩形帶，K是S的正規(guī)子半群，則(ε,K)稱為S的矩形同余對(duì)，若它滿足：

(RCP1)?a∈S,a′∈W(a)，則存在a″∈W(a)，使得aa″aa′εaa′，a′aa″aεa′a；

(RCP2)?a∈S,x∈且xa∈K?a∈K．

下面在S上定義一個(gè)二元關(guān)系

2 主要結(jié)論

以下用RC(S)表示S上所有的矩形群同余集合，用RCP(S)表示S上所有的矩形群同余對(duì)集合．首先給出本文的主要結(jié)果．

定理1 設(shè)S是GV-半群．若(ε,K)∈RCP(S)，則ρ(ε,K)∈RC(S)且kerρ(ε,K)=K和htrρ(ε,K)=ε．

證明定理1需要證明下面四個(gè)命題．在下面的證明中令ρ=ρ(ε,K)，若(ε,K)∈RCP(S)．

命題1 若(ε,K)∈RCP(S)，且?a,b∈K．?x∈.如果ab∈K，則axb∈K且ρ是S的等價(jià)．

證明 設(shè)ab∈K，?a,b∈S,則a′aba∈K，?a′∈W(a)．由(RCP2)，可得ba∈K，a′a∈，又(ba)x∈K，?x∈和b′baxb∈K,?b′∈W(b)，則由(RCP2)知axb∈K．ρ滿足對(duì)稱性．又因ES?K和ε是自反的，故ρ是自反的．

下證ρ滿足傳遞性．設(shè)aρb,bρc，則對(duì)?a′∈W(a)，存在b″∈W(b)，使得a′b∈K,aa′εbb″,a′aεb″b．對(duì)?b′∈W(b),存在c′∈W(c),使得b′c∈K,bb′εcc′,b′bεc′c．則由ε的傳遞性可得，aa′εcc′,a′aεc′c．令g∈M(aa′,bb′) ．則由K是正規(guī)的和a′b∈K，可得b′ga∈W(a′b)?K．又因a′bb′ga∈ES?K,a′bb′c∈K和gaa′∈，即得a′bb′(gaa′)c∈K，因而由(PCP2)，即得a′c∈K．另一方面，同理可知對(duì)?c′∈W(c)，存在a′∈W(a)，使得c′a∈K,aa′εcc′，a′aεc′c，故aρc，因此ρ是S上的一個(gè)等價(jià)．

命題2 若(ε,K)∈RCP(S)，則ρ是S上的同余．

證明 先證ρ是左相容的．設(shè)aρb，a,b∈S,對(duì)?(ca)′∈W(ca)，有a′=(ca)′c∈W(a),c′=a(ca)′∈W(c),(ca)′=a′c′,aa′=cc′．由aρb即知(ca)′cb=a′b∈K．又由ρ的定義，可知存在b′∈W(b)，使得aa′εbb′又存在g∈M(aa′,bb′)=M(c′c,bb′)，使得c′c=aa′εgεbb′．設(shè)(cb)′=b′gc′，則(cb)′=b′gc′∈W(cb)．同理可得，對(duì)?(cb)′∈W(cb)，存在(ca)″∈W(ca)，使得(cb)′ca∈K，ca(ca)″εcb(cb)′，(ca)″caε(cb)′cb，則caρcb．故ρ是S上的左同余．另一方面，同理可證ρ是S上的右同余，因此，ρ是S上的同余．

命題3 設(shè)(ε,K)∈RCP(S)，則htrρ=ε，且ρ(ε,K)是S上的矩形群同余．

證明 首先證htrρ=ε．設(shè)xρy,x,y∈，又存在x′∈W(x)∩，使得xεxx′x(ε是上的矩形帶同余)．又由ρ的定義知存在y′∈W(y)∩，使得xx′εyy′，x′cεy′y，因此xεxx′xεyy′xεyx和yεyy′y(ε是上矩形帶同余).又εyx′x,cεy′y則xεy，即htrρ?ε．

反之，設(shè)xεy,x,y∈，?x′∈W(x)∩,因此x′y∈?K,x′yx′εx′xεx′(ε是上的矩形帶同余)，即x′ε∈W(yε)．存在y′∈W(y)∩，使x′εy′，則xx′εyy′,x′xεy′y．同理，對(duì)?y′∈W(y)，則存在x′∈W(x)，使得y′x∈K,xx′εyy′,x′xεy′y，故xρy，即ε?htrρ，因此htrρ=ε．

下證ρ=ρ(ε,K)是S上的正則同余．由(RCP1)知，對(duì)?a∈S,a′∈W(a)，存在a″∈W(a)，使得a′aa″a∈K,a′aa″aa′aεa′aa′a=a′a，即(a′a)ε∈W((a″a)ε)．存在(a″a)∈W(a″a)∩，使(a″a)′εa′a．又因(a″a)′(aa″a)(a″a)′a′ρ(a″a)′(a″a)′a″a(a″a)′a′=(a″a)′(a″a)′a′ρ(a″a)′a′

(/ε是矩形帶且htrρ=ε)

即((a″a)′a′)ρ∈W((aa″a)ρ)．存在(aa″a)′∈W(aa″a)，使得(aa″a)′ρ(a″a)′a′，

則aa″a(a″a)′ρa(bǔ)a″a(a″a)′a′ρa(bǔ)a″aa′aa′=aa″

aa′εaa′(由RCP1)

即aa″a(aa″a)′εaa″aa′εaa′．因htrρ=ε，且

(aa″a)′aa″aρ(a″a)′a′aa″aρa(bǔ)′aa′aa″a=a′aa″

aεa′a(由RCP1)

即(aa″a)′aa″aεa′aa″aεa′a(因htrρ=ε)．

另一方面，對(duì)?c∈W(aa″a),ca∈W(a″a)，ac∈W(aa″)∈?K,

又因caa″a(ca)caa″aεcaa″a(因/ε是矩形帶)，即(caa″a)ε∈W((ca)ε)，又因存在x∈W(ca)∩，使得xεcaa″a．令a′=xc，則a′∈W(a)，a(xc)εaa″axc(因RCP1)εaa″acaa″acε(aa″a)c．

并且同理可得(xc)aεc(aa″a)，因此aρa(bǔ)a″a．所以ρ是S上的正則同余．下面設(shè)aρ,bρ∈E(S/ρ)，則存在e,f∈ES，使aρe,bef，因/ε是矩形帶，故efeρe，則(aba)ρa(bǔ)，即S/ρ是矩形群，因而ρ是S上的矩形群同余

命題4 若ρ是S的矩形群同余，則(htrρ,kerρ)是S上的矩形群同余對(duì)且ρ=ρ(htrρ,kerρ)．

證明 由矩形群同余對(duì)定義只需證(htrρ,kerρ)滿足(RCP1)和(RCP2)即可．設(shè)a∈S，?a′∈W(a),由ρ是S上的正則同余，則存在a″∈W(a)，使得aρa(bǔ)a″a，因此aa′ρa(bǔ)a″aa′，a′aρa(bǔ)′aa″a，其中aa′,a′a,aa″aa′,a′aa″a∈，則aa′htrρa(bǔ)a″

aa′,a′ahtrρa(bǔ)′aa″a．從而滿足RCP1．設(shè)?a∈S,x∈，xa∈K,則(xa)ρ∈E(S/ρ)．又因ρ是S的正則同余，則存在a″∈W(a)使得aρa(bǔ)a″a，又aρa(bǔ)a″aρa(bǔ)a″(xa)a″a，由aa″a″a∈ρa(bǔ)a″a″a(E(S/ρ)是矩形帶)，因此aρ=(aa″a″a)ρ∈E(S/ρ)，即a∈K，因此(htrρ,kerρ)是S上的矩形群同余對(duì)．

下證ρ=ρ(htrρ,kerρ)．設(shè)aρb,?a′∈W(a)，故a′bρa(bǔ)′a，即a′b∈K．由a′∈W(aρ)=W(bρ)，則存在b′∈W(b)使得a′ρb，因此aa′htrρbb′,a′ahtrρb′b，其中aa′,a′a,b′b,bb′∈ES．同理對(duì)?b′∈E(b)，則存在a′∈W(a)，使得b′a∈K,aa′htrρbb′,a′ahtrρb′b，即aρ(htrρ,kerρ)b，故ρ?ρ(htrρ,kerρ)．

反之，設(shè)aρ(htrρ,kerρ)b,a,b∈S，因ρ是S上的正則同余，則存在

a″∈W(a)，b″∈W(b),使得aρa(bǔ)a″a,bρbb″b，因而存在b′∈W(b)，使得

aa″htrρbb′,a″ahtrρb′b,a″b∈K．另一方面，存在a′∈W(a)，使得aa′htrρbb′,a′ahtrρb″b,b′a∈K，因而

aρ=(aa″a)ρ=(bb′a)ρ=(bb′ab′a)ρ=(aa″ab′a)ρ=(ab′a)ρ，和bρ=(bb″b)ρ=(aa′b)ρ=(aa′aa′b)ρ=(aa″bb″b)ρ=(aa″b)ρ，則aρb，即ρ?ρ(htrρ.kerρ)，因此ρ=ρ(htrρ.kerρ)．

最后綜合命題1,2,3,4，即可證明定理1．

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(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.016

2016-04-22

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“GV-半群及其子系統(tǒng)格的理論和方法研究”(1308085QA12)

王宇,安徽壽縣人,博士,碩士生導(dǎo)師,講師.

O152.7

A

1008-7974(2016)04-0049-03