互補問題中兩個定理的推廣

任佳盈

(長春工業大學 基礎科學學院，吉林 長春 130012)

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互補問題中兩個定理的推廣

任佳盈

(長春工業大學 基礎科學學院，吉林 長春 130012)

利用簡單的數學工具，對互補問題中的兩個重要定理進行了推廣和證明，通過改變定理的某些條件，使得當條件變弱時，定理依舊成立.

互補問題；定理；推廣；非線性互補

互補問題首先由著名運籌學家、數學規劃的創始人G.B.Dantzig教授和他的學生R.W.Cottle于1963年提出.1964年，R.W.Cottle在其博士論文中第一次提出了求解它的非線性規劃算法.這一問題在初期被稱為“拼合問題”“基本問題”等.1966年，P.Hartman和G.Stampscchia提出了一個與互補問題密切相關的概念——變分不等式，1971年，Karamardian證實了非線性互補問題是變分不等式的一種特殊情形.變分不等式聯系著不動點理論、最優化理論、經濟學理論、最優控制論，而且在交通模型以及社會和經濟模型等方面有著廣泛應用.互補問題作為變分不等式的特例，也有廣泛的應用背景.

本文在前面研究的基礎上，對互補問題中的兩個重要結論進行了推廣，通過改變它的某些條件，使其條件變弱時，這個定理依然成立.這為以后定理的發展提供了基礎.

1 預備知識

引理1 設F:Rn→Rn是一個連續單調函數.如果存在y∈Rn和兩個正的常數M,C使得

(1)F(y)>0且c‖y‖

(2)對于任意的x，‖x‖1≥M?‖F(x)‖≤C‖x‖1．

則有Zε={x∈Rn:x≥0,F(x)≥0,xTF(x)≤ε}對于任意的x≥0,F(x)≥0是有界的.

引理2 假設ψ≤ψ(1)，F為單調函數，x*是非線性互補問題的一個解，并且x(r)(00時.則有

h(‖x-y‖)≤〈x-y,F(x)-F(y)〉.

其中，h:[0,+∞]→[0,+∞]且h(0)=0，h(t)>0,當t>0時，并且存在ε,η>0使得h:[0,ε]→[0,η]是一個遞增的雙射.那么非線性互補問題有唯一的解x*，并且存在r0>0,使得當r∈[0,r0]時，有‖x*-x(r)‖≤h-1(nr2)．

2 主要結果

定理1的推廣 設F:Rn→Rn是一個連續的P*映射，則存在y≥0,F(y)>0，對于任意ε>0，Zε={x∈Rn:x≥0,F(x)≥0,xTF(x)≤ε}是有界的.

證明 用反證法證明.假設存在ε>0,Zε無界.則存在{x(k)}∈Zε,即

x(k)≥0,F(x(k))≥0,(x(k))TF(x(k))≤

使得當K→+∞時，‖x(k)‖→+∞.由于

yiFi(x(k))+yiFi(y)≤

其中，i=1,2,…,n.

定理2的推廣 假設ψ≤ψ(1),F為P*映射,x*是非線性互補問題的一個解，并且當r1>0時,x(r)(0

(2)如果F滿足條件

h(‖x-y‖)≤

其中,當t>0時,h:[0,+∞]→[0,+∞]且h(0)=0,h(t)>0,并且存在ε,η>0使得h:[0,ε]→[0,η]是一個遞增的雙射，那么非線性互補問題有唯一的解x*，并且存在r0>0,使得當r∈[0,r0]時,有‖x*-x(r)‖≤h-1(cr2)(c≥0)．

證明 (1)的證明與定理2的證明類似，作簡要證明.因為x(r)滿足Hr(x)=0，即

因為ψ≤ψ(1)，所以

(2)h(‖x-y‖)≤

(1+τ)r2+r2=(2+τ)r2(τ≥0)

又因為h:[0,ε]→[0,η]是一個雙射并且h-1是遞增的，所以定理得證.

3 結束語

對變分不等式和非線性互補問題的研究，一般分為理論和算法.前者主要研究解的存在性、唯一性、穩定性和靈敏度分析；后者主要建立有效的求解方法及相應的算法分析.針對算法來說，主要有連續化方法、內點法、光滑(非光滑)方程算法、信賴域算法、效益函數法、投影收縮法等.本文在求解互補問題的光滑化方法過程中，對一些定理進行了擴展，旨在更弱的條件下，這類方法或對于誤差的估計依然成立.這對于互補問題方法的研究有意義.

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[5]Cottle R W, Pang J-S, Stone R E. The linear Complementarity problems[J].Classics in Applied Mathematics,2009,60(2):60-66.

[6]修乃華,韓繼業.對稱錐互補問題[J].數學進展,2007,36(1):1-11.

(責任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.017

2016-03-15

國家自然科學基金項目“基于三維隨機模擬的傍河型水源地污染物遷移規律研究”(51278065)；吉林省科技計劃項目“向量優化問題的路徑跟蹤算法研究”(20130101061)

任佳盈,女,山西運城人,長春工業大學基礎科學學院在讀碩士.

TP399

A

1008-7974(2016)04-0052-02