利率期限結(jié)構(gòu)模型研究與實(shí)證分析

唐璟宜，文忠橋

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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利率期限結(jié)構(gòu)模型研究與實(shí)證分析

唐璟宜，文忠橋

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

利率是傳統(tǒng)意義上的貨幣價(jià)值，研究利率的期限結(jié)構(gòu)有助于投資者對(duì)投資策略和方向有一個(gè)全局整體的把握，尤其是對(duì)于債券的投資．本文對(duì)我國(guó)的利率期限結(jié)構(gòu)的理論和擬合方法進(jìn)行簡(jiǎn)介，并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)，重點(diǎn)對(duì)四個(gè)認(rèn)可程度廣泛的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合．利用MATLAB軟件運(yùn)行得出結(jié)果，并比較四種利率期限結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣．

利率期限結(jié)構(gòu)；多項(xiàng)式樣條模型；指數(shù)模型；NS模型；NSS模型；實(shí)證分析

在金融市場(chǎng)上，資產(chǎn)種類和期限的不同會(huì)造成不同的利率，不同時(shí)點(diǎn)下的利率水平會(huì)形成一條利率曲線，即利率期限結(jié)構(gòu)．利率期限結(jié)構(gòu)有效反映了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行方面的基本信息，因此在我國(guó)積極推進(jìn)利率和匯率市場(chǎng)化改革的宏觀背景下，對(duì)我國(guó)的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究并準(zhǔn)確把握其基本特征，對(duì)研究金融市場(chǎng)有重要意義．利率結(jié)構(gòu)理論具有廣泛的應(yīng)用性．在宏觀層面，由于利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行、各類經(jīng)濟(jì)政策和金融現(xiàn)象密切相關(guān)，所以它既是聯(lián)系實(shí)體經(jīng)濟(jì)和名義貨幣的中介，又是調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)的杠桿．在微觀層面，幾乎所有成熟的固定收益定價(jià)模型都是以在一個(gè)無違約風(fēng)險(xiǎn)且僅反映系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的利率期限結(jié)構(gòu)上加入風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為邏輯而進(jìn)行的，因此精確的利率期限結(jié)構(gòu)是固定收益率金融資產(chǎn)定價(jià)等微觀金融領(lǐng)域不可或缺的金融工具．

1 我國(guó)現(xiàn)有的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合估計(jì)模型

我國(guó)公認(rèn)的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)擬合估計(jì)模型有：①多項(xiàng)式樣條函數(shù)模型；②指數(shù)樣條函數(shù)模型；③Nelson-Siegel(NS)模型；④Nelson-Siegel-Svensson(NSS)擴(kuò)展模型．

本文的目的是對(duì)現(xiàn)有的四種模型進(jìn)行實(shí)證分析，比較各自的優(yōu)劣及差別，更加深入地了解國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)擬合估計(jì)模型，從而為今后的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．

2 四種模型的實(shí)證分析

本文利用MATLAB軟件，選取2015年11月11號(hào)當(dāng)天的我國(guó)國(guó)債證券市場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)，并篩選掉固定單利以及到期收益率為負(fù)的債券，得到共179項(xiàng)國(guó)債數(shù)據(jù)．對(duì)這些數(shù)據(jù)建立利率期限結(jié)構(gòu)模型，分別使用四種樣條函數(shù)進(jìn)行利率期限結(jié)構(gòu)的擬合，得到各自擬合結(jié)果函數(shù)和圖像．

2.1 多項(xiàng)式樣條函數(shù)

綜合考慮擬合的平穩(wěn)性以及先前的擬合經(jīng)驗(yàn)，該函數(shù)選取5年和15年作為分界點(diǎn)，將利率期限結(jié)構(gòu)劃分為短、中、長(zhǎng)三個(gè)時(shí)期，并構(gòu)造三次樣條函數(shù)為

B(0,s)=

約束條件為(保證分段點(diǎn)的連續(xù)性)，即

將約束條件代入原方程，簡(jiǎn)化模型參數(shù)得到新的函數(shù)方程組為

B(0,s)=

待估參數(shù)可由12個(gè)降低到5個(gè)．

β=(a1,b1,c1,a2,a3)=

(-0.024,-0.002,0.000,-0.000,0.000)

即得到實(shí)際方程組為

B(0,s)=

利用MATLAB做出多項(xiàng)式樣條的利率期限結(jié)構(gòu)圖像，如圖1所示：

圖1 多項(xiàng)式樣條模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)

從圖1可以看出，根據(jù)多項(xiàng)式樣條函數(shù)擬合出來的利率期限結(jié)構(gòu)曲線較為平滑，性質(zhì)優(yōu)良．同理論一致，債券期限結(jié)構(gòu)是隨著到期期限的增加而上升的．到期期限越長(zhǎng)，投資者就越要求回報(bào)率．按不同到期期限進(jìn)行分析，可以看出對(duì)于短期債券(0-5年)，即期利率有明顯上升趨勢(shì)；而中間期限長(zhǎng)度(5-15年)則表現(xiàn)得相對(duì)穩(wěn)定，上升的速度有所減緩．長(zhǎng)期國(guó)債的即期利率要高于短期國(guó)債，根據(jù)預(yù)期理論可以解釋為：投資者預(yù)期未來即期利率上升，而市場(chǎng)分割理論則認(rèn)為：長(zhǎng)期債券流動(dòng)性較之短期債券流動(dòng)性差，對(duì)于長(zhǎng)期債券要獲得更高的流動(dòng)性溢價(jià)．綜合來看，曲線平滑且擬合優(yōu)度較好，即采用多項(xiàng)式樣條函數(shù)來估計(jì)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線效果優(yōu)良．多項(xiàng)式樣條函數(shù)適用于研究結(jié)構(gòu)的基本形狀，還可據(jù)此來推測(cè)未來利率的變化情況．

2.2 指數(shù)樣條函數(shù)

本文擬合指數(shù)樣條函數(shù)時(shí)以3年和8年作為分界點(diǎn)，將利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)期劃分為短期、中期、長(zhǎng)期總共三個(gè)時(shí)期，并構(gòu)造三次指數(shù)樣條函數(shù)，基本形式為

B(0,s)=

約束條件仍需保證分段點(diǎn)的連續(xù)性．為減少待估參數(shù)，本文簡(jiǎn)化三次指數(shù)樣條形式，有如下形式

B(0,s)=

此時(shí)方程中只有7個(gè)待估參數(shù)，利用MATLAB帶入實(shí)際求解，得出參數(shù)分別為

β=(a1,b1,c1,d1,a2,a3,u)=

(0.954 -0.008 -0.185 0.027 0.237 0.066 0.239)

帶入指數(shù)樣條方程組中，得出結(jié)果，并作出指數(shù)樣條利率期限結(jié)構(gòu)圖,如圖2所示.

圖2 指數(shù)樣條模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)

從圖2可以看出，圖中分為兩段，分別是0～8期與8～20期，說明短期和中長(zhǎng)期具有相同的趨勢(shì).在0～8期，利率期限結(jié)構(gòu)曲線平滑，并且曲線的上升勢(shì)頭很大，反映即期利率曲線在中短期內(nèi)的斜率較大.在第8期時(shí)，到期收益率有一個(gè)垂直上拉的形態(tài)．從第8期開始到第20期，到期收益率起點(diǎn)并不是緊接上期的，而是比上期略大，這可能與當(dāng)時(shí)的貨幣政策、利率政策等有關(guān)．在8～20期，利率期限結(jié)構(gòu)曲線也是平滑上升的，但是上升的勢(shì)頭在接近20期時(shí)逐漸減緩，即期利率曲線在長(zhǎng)期的斜率比短期斜率要小．總體而言，利率期限結(jié)構(gòu)曲線的擬合效果較為優(yōu)良，除了中間在8年期左右，短期利率向上突然上升一個(gè)高度，且其后維持不變，可能是由于某項(xiàng)政策的支持，對(duì)短期利率有一個(gè)補(bǔ)償．

綜上分析，指數(shù)樣條同多項(xiàng)式樣條的擬合結(jié)果相似，而指數(shù)樣條的參數(shù)比多項(xiàng)式樣條的參數(shù)估計(jì)要略微復(fù)雜．故一般情況下選擇多項(xiàng)式樣條法．

2.3 NS函數(shù)

一般指數(shù)形式的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率為

對(duì)應(yīng)的即期利率函數(shù)為

此時(shí)方程中只有4個(gè)待估參數(shù)，利用MATLAB帶入求解，得出參數(shù)為

β=(β1,β2,β3,m)=

(0.050 -0.025 0.002 0.126)

作出NS函數(shù)的利率期限結(jié)構(gòu)圖像，如圖3所示.

圖3 NS模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)

從圖3可以看出，NS模型的利率期限結(jié)構(gòu)曲線的擬合優(yōu)度良好，曲線平滑，并且即期利率曲線的斜率是逐漸減小的．由于我們的擬合期限較短，但根據(jù)現(xiàn)有趨勢(shì)可以推測(cè)出在遠(yuǎn)期基本上處于一個(gè)水平的穩(wěn)定狀態(tài)．綜合來看：NS模型所擬合的債券利率期限結(jié)構(gòu)曲線比較平滑，且與根據(jù)多項(xiàng)式樣條函數(shù)擬合的曲線更加接近，并且短期債券與長(zhǎng)期債券的利率上升速度基本能夠保持平穩(wěn)，無突然的變化．

相比前面兩種模型而言，NS模型對(duì)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的擬合是最好的．該模型的優(yōu)點(diǎn)是待估參數(shù)相對(duì)較少，因此適合在估計(jì)債券數(shù)量不多的情況下使用．而且參數(shù)有各自的經(jīng)濟(jì)含義,使得模型易于運(yùn)用，便于理解．但是，NS模型也存在缺陷,如人為限定了曲線的形狀,構(gòu)造的曲線并不能完美貼合每一個(gè)樣本點(diǎn)，在擬合的精度上仍有欠缺．

2.4 NSS函數(shù)

NSS模型可以解決NS模型刻畫曲線種類受限的問題，其函數(shù)的構(gòu)成相對(duì)而言更為復(fù)雜，其即期利率函數(shù)為

為了更好地?cái)M合出利率期限結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了兩點(diǎn)改進(jìn).①增加中期項(xiàng)；②增加新的曲度參數(shù)和調(diào)整參數(shù)．

此時(shí)方程中仍存在6個(gè)待估參數(shù)，利用MATLAB帶入實(shí)際求解，得出參數(shù)分別為

β=(β1.β2,β3,β4,τ1,τ2)=

(3.9943 -3.9701 -15.2991 0.0288 -0.0001 0.1316)

作出NSS函數(shù)的圖像，如圖4所示.

圖4 NSS模型的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)

由圖4看出，曲線還是很平滑的，對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的擬合優(yōu)度較好，利率期限結(jié)構(gòu)圖形是平滑上升的．根據(jù)NSS模型擬合的利率期限結(jié)構(gòu)曲線與根據(jù)NS模型擬合的利率期限結(jié)構(gòu)曲線幾乎重合．它們的區(qū)別主要體現(xiàn)在擬合遠(yuǎn)端數(shù)據(jù)時(shí)有差別：以NS模型擬合的曲線在遠(yuǎn)端要更加發(fā)散一點(diǎn)．一般來說，以NSS擴(kuò)展模型作為擬合利率期限結(jié)構(gòu)的模型更合適，因?yàn)樗梢杂糜诿枥L駝峰形和S形等復(fù)雜曲線．

3 四種模型的殘差分析

作出四種模型的估計(jì)值與預(yù)測(cè)值的殘差圖，如圖5所示，對(duì)此進(jìn)行進(jìn)一步模型評(píng)價(jià)．首先，尋找四幅圖的相同之處．統(tǒng)一觀察四幅殘差圖，可以發(fā)現(xiàn)其大體形狀基本一致，均在第7個(gè)數(shù)據(jù)、第48個(gè)數(shù)據(jù)和第67個(gè)數(shù)據(jù)處存在較大誤差，其余數(shù)據(jù)誤差較小，僅存在輕微誤差．根據(jù)各自的比例尺，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式樣條和NS函數(shù)的誤差范圍在[-20,20]之內(nèi)，而指數(shù)樣條和NSS函數(shù)的誤差范圍則略有增加，超過[-20,20]．接著本文試圖尋找不同點(diǎn)．分別觀察各自的波動(dòng)幅度，可以初步得出指數(shù)樣條和NSS函數(shù)的波動(dòng)劇烈程度較大的結(jié)論．

圖5 四種模型的殘差

為了進(jìn)一步比較四種模型的殘差情況，本文用精確數(shù)據(jù)比較四種模型的殘差均值以及波動(dòng)情況,如表1所示．

表1 四種模型的殘差均值以及波動(dòng)情況

通過對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，有以下結(jié)論：多項(xiàng)式樣條的殘差均值最小，但波動(dòng)較大．指數(shù)樣條的波動(dòng)情況相對(duì)比多項(xiàng)式樣條的波動(dòng)情況小，當(dāng)殘差均值過大．NS函數(shù)與NSS函數(shù)的殘差均值接近且均小于指數(shù)樣條，而NSS函數(shù)的波動(dòng)程度比NS函數(shù)的波動(dòng)程度遠(yuǎn)大，且NS函數(shù)的波動(dòng)率在四個(gè)模型的波動(dòng)率中最?。C合以上分析，可以得出NS函數(shù)的估計(jì)最為合理且優(yōu)良．

4 結(jié)論

綜上，可以看出我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)圖形基本是呈右上方傾斜的，說明短中期利率普遍較低于長(zhǎng)期利率．根據(jù)本文選取數(shù)據(jù)計(jì)算出四種模型的結(jié)果，有如下結(jié)論.①多項(xiàng)式樣條函數(shù)和指數(shù)樣條函數(shù)相比，前者對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)模型的擬合效果更好，因此在現(xiàn)實(shí)中可以在滿足相同需求的情況下盡量使用多項(xiàng)式樣條函數(shù)．②多項(xiàng)式樣條法和NS模型所擬合的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線都相對(duì)比較平滑，而指數(shù)樣條法擬合的利率期限結(jié)構(gòu)曲線則略微有些曲折．③多項(xiàng)式樣條法擬合的即期利率曲線在遠(yuǎn)端是呈冪級(jí)數(shù)上升的，而指數(shù)樣條法擬合的即期利率曲線在遠(yuǎn)端是比較平緩的．因此，指數(shù)樣條模型更適合擬合長(zhǎng)期數(shù)據(jù)．

在最后的殘差分析中，NS 模型的擬合效果優(yōu)于其他三種模型，這在某種程度上解釋了為什么很多國(guó)家將 NS 模型運(yùn)用于央行相關(guān)政策(貨幣政策、財(cái)政政策等)的制定．同時(shí)，由于本文的實(shí)證研究結(jié)果是基于我國(guó)國(guó)債收益率數(shù)據(jù)獲得，說明了NS模型更適于我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)的研究．

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(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.018

2015-10-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的非一致指數(shù)二分性及其數(shù)值模擬”(11301001)；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目(201510378153)

唐璟宜,女,安徽合肥人,安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院在讀；文忠橋,湖南祁陽(yáng)人,博士,副教授.

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A

1008-7974(2016)04-0054-04