非線性各向異性介質中TE波的色散特性

王 洋，趙海軍

(西華師范大學 計算機學院，四川 南充 637009)

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非線性各向異性介質中TE波的色散特性

王 洋，趙海軍

(西華師范大學 計算機學院，四川 南充 637009)

非線性異向介質中的電磁波傳播一直都是人們重點關注的問題.該文主要研究了非線性各向異性介質中TE波傳播的色散特性.為此，首先從麥克斯韋方程組出發，得到了非線性異向介質中TE波傳播常數所滿足的特征方程，然后利用輻射條件和傳播條件，并通過解析，把該問題的麥克斯韋方程組簡化成了非線性邊值問題，從而得到了傳播特性所滿足的色散方程；仿真表明，由色散方程所給出的色散曲線能夠很好地刻畫非線性異向介質中TE波的傳播特性.

非線性特性；各向異性；傳播常數；色散；邊值問題

從20世紀70年代至今，非線性波導結構中的電磁波傳播問題得到了廣泛研究[1-4].文獻[5]針對具有克爾非線性特性的單層圓柱形波導中的電磁波傳播問題給出了嚴格的電磁場表達式；文獻[2,3]還解決了具有克爾非線性特性的多層媒質層中的TE波和TM波的傳播問題；文獻[6]對具有克爾非線性特性的異向介質中的TE波傳播問題進行了研究，并給出了一些數值結果，文獻[3-8]針對非線性多層媒質和非線性異向介質中的TM波傳播問題進行了研究；文獻[9]對各向異性導體-介質-等離子體特殊多層結構中電磁波的傳播特性進行了研究，得到了該結構中的色散方程，分析了金屬網角度、介質厚度和介電常數對色散的影響；文獻[10]針對多分層介質中平面電磁波的傳播特性，用波阻抗法和等效傳輸原理計算出了各層介質的反射系數和透射系數的理論公式.本文針對任意非線性異向介質中的TE波的傳播問題進行研究，得到了色散方程和傳播常數.

2 任意非線性異向介質中的TE波傳播問題

2.1 問題的導出

首先考慮均勻、各向同性、無磁介質的媒質層中的電磁波傳播.設x<0和x>h的兩個半空間充滿了均勻、各向同性、無磁介質的媒質，且沒有任何場源，介電常數分別為ε1≥ε0和ε3≥ε0(ε0為自由空間的介電常數)，都有μ=μ0(μ0為自由空間的磁導率)，如圖1所示.

圖1 問題的幾何表示

設電磁場為時諧場：

式中ω為角頻率，E+，E-，H+，H-為空間變量x，y，z的實函數.根據時諧場的復數表示法，省略時間變量，表達式E=E++jE-，H=H++jH-為復振幅，且E=(Ex，Ey，Ez)T,H=(Hx，Hy，Hz)T.

電磁場E，H滿足麥克斯韋方程組：

(1)

在媒質界面x=0和x=h處滿足切向場分量連續性條件和在無窮遠滿足輻射條件：即在x<0和x>h區域，當|x|→∞時，電磁場按指數規律衰減.

設f為解析函數，0max(ε1，ε3)時線性媒質中(f≡0)的TE波傳播問題，然后來得到任意非線性異向介質中的色散方程，于是就可以得到整個空間中的麥克斯韋方程組的解.

2.2 任意非線性異向介質中的TE波

考慮TE波E=(0,Ey,0)T，H=(Hx,0,Hz)T，其中電磁場分量Ey，Hx，Hz與變量y無關，沿媒質界面傳播的電磁波為z的時諧波，意味著分量有形式Ey=Ey(x)ejγz，Hx=Hx(x)ejγz，Hz=Hz(x)ejγz，這樣可從方程組(1)得到：

γ2Ey(x)-E″y(x)=ω2μεEy(x)

(2)

式中(·)′≡d/dx，γ為未知的傳播常數.

Y″(x)=γ2Y(x)-εY(x)

(3)

引入新函數Z(x)=Y′(x)，于是式(3)可看成下列方程組：

(4)

于是問題變成尋找沿0

2.3 解微分方程組(4)

在區域x<0有ε=ε1，根據輻射條件，可得到方程組(4)的解為：

(5)

式(5)中γ2-ε1>0，否則就不能滿足輻射條件.

在區域x>h有ε=ε3，根據輻射條件，可得到方程組(4)的解為：

(6)

同樣，式(6)中γ2-ε3>0.

方程組(5)、(6)中的常數A、B由傳播條件和初始條件確定.

在區域0

(7)

方程組(7)有第一積分，用方程組(7)中第二個方程除以第一個方程，就得到全微分方程ZdZ+(ε2-γ2+f(Y2))YdY=0，它的通解為：

Z2+(ε2-γ2)Y2+φ(Y2)=C

(8)

式中φ(Y2)=∫f(u)du|u=Y2，C為積分常數.

由此可見，函數Y(x)、Z(x)的傳播條件為：

(9)

這里：

[f]x=x0=limx→x0-0f(x)-limx→x0+0f(x)

在半空間x<0和ε=ε1有：

(10)

在0

L(F,γ)≡DF-G(F,γ)=0

(11)

在半空間x>h和ε=ε3有：

(12)

根據傳播條件(9)和第一積分式(8)可得到關于Y0的方程：

(ε2-ε3)Yh2+φ(Yh2)=(ε2-ε1)Y02+φ(Y02)

(13)

于是問題就歸結為：尋找本征值γ和對應于這些本征值的非零向量F，以使F滿足式(10)-(12)，向量F的分量滿足傳播條件(9)，Y(0)≡Y0由式(13)確定.

定義1：在條件(9)和(13)下，使得問題(10)-(12)的非零解F存在的γ=γ0稱為問題的本征值.對應于這個本征值的解F稱為問題的本征向量，向量F的分量Y(x)和Z(x)稱作本征函數.

3 色散方程

記τ(x)=ε2+Y2(x)，η(x)=Z(x)/Y(x)，于是方程組(7)有形式：

(14)

第一積分式(8)有形式：

(τ-ε2)η2+(ε2-γ2)(τ-ε2)+

φ(τ-ε2)=C

(15)

如果非線性函數f是一個多項式，則式(15)就是一個關于τ的代數方程.麥克斯韋方程組中的本構關系中的極化向量就可以用|E|展開為級數.截取這個級數就得到一個多項式函數.

此外，還有τ(0)=ε2+Y02，τ(h)=ε2+Yh2，由于Yh已知，故τ(h)已知，根據傳播條件，可得到η(0)和η(h)：

(16)

代入x=h到式(15)，得到：

Chτ=C|x=h=

(ε2-ε3)(τ(h)-ε2)+φ(τ(h)-ε2)

結合式(15)，利用式(16)和Chτ，可以得到關于τ(0)的方程為：

(τ(0)-ε2)(ε2-ε1)+φ(τ(0)-ε2)=

(ε2-ε3)(τ(h)-ε2)+φ(τ(h)-ε2)

(17)

顯然，τ(0)≥ε2，因為τ(0)=ε2+Y02且ε2>0.式(17)存在根τ(0)≥ε2，必須對函數f附加某些條件，如f為非負系數的多項式函數，則根存在.

值得注意的是，從式(17)可見，如果ε1=ε3，則方程有一個根是τ(h)，也就是τ(0)=τ(h).采用原來的變量，就得到Y02=Yh2.對線性媒質層來說，情況幾乎相同，只是有一個微小差別，即在線性情況下，當ε1=ε3時，總有Y02=Yh2，在非線性情況下，式(17)僅有一個根.

假設函數f滿足條件(γ2-ε2-f(τ-ε2)-η2)<0，事實上如果f是一個非負系數的多項式函數，這個條件的確是成立的.在這種情況下，方程組(14)的第二個方程的右邊就是負的，這意味著當x∈(0，h)，函數η就減小，從式(16)可以看到η(0)>0，η(h)<0，但函數Y有可能為零，因為Y和Z為解析函數，對η來說也是這樣.這就意味著對于Y=0，η有第二類間斷點，這些點是函數η的極點.

從第一積分式(15)有：

極點就是這個表達式分母為零，即在這些極點τ*=τ(x*)，η*=±∞.

假設在區間x∈(0，h)存在N+1個間斷點x0,…,xN，對函數η=η(x)來說，意味著η(xi-0)=-∞，η(xi+0)=+∞，i=0,…,N.

J(γ,H)=

(18)

式中N≥0為整數，方程對任意有限的h都是成立的，對于不同的N(N≠0)有不同的色散方程，必須解關于γ的每個方程.

定理1：色散方程式(18)的解集包含具有邊界條件(9)、(13)的邊值問題(10)-(12)的解集(本征值).

定理2：如果式(18)有唯一解τ(0)≥ε2，則具有邊界條件(9)和(13)的邊值問題(10)-(12)有一個解(本征值)當且僅當這個本征值是色散方程式(18)的一個解.

令：

inf和sup分別表示下界和上界，則有下面的定理3.

還可以證明，對于任意實數值ε2和max(ε1，ε3)<γ2<+∞，色散方程有式(18)，N=0,±1,±2,….

必須強調的是，這種非線性問題本質上依賴于初始條件Yh，而對于線性媒質來說，傳播問題不依賴于初始條件.

4 仿真

圖2所示為仿真得到的色散曲線變化情況.仿真中采用的非線性函數f=aY2+bY4+cY6+dY8，a，b，c，d取2組不同的值，ε1=ε3=1，ε2=3，Yh=1.虛線為線性媒質(即f≡0)的色散曲線，γ2=3的直線為線性情況下的漸近線，實線為非線性情況下的色散曲線(即式(18)的解).

從仿真結果可見，當f>0時，由式(18)定義的函數h≡h(γ)有limγ2→+∞h(γ)=0.這意味著在非線性情況下，色散曲線總有一條漸近線h=0.從圖(2b)可見，直線h=13對應媒質層的厚度，對于線性媒質來說，這時有7個傳播常數(直線h=13與7條色散曲線(細線)相交的6個點)，這些傳播常數就是對應于本征模的本征值；對于非線性媒質來說，有5個本征值(即圖2(b)即h=13與5條色散曲線(粗線)相交的4個點)，這些本征值對應4個本征模.

(a)a=b=c=d=0.05

(b)a=0.05,b=c=d=0.005

5 結論

總之，在線性和非線性情況下，存在很大的差別.在非線性情況下，有無窮多個本征模，而在線性情況下，本征模數量總是有限的，而且在線性情況下，在區間ε2<γ2<+∞不存在本征值.

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(責任編輯:王前)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.025

2016-04-10

四川省科技廳支撐項目(2014SZ0104)；西華師范大學基本科研業務費專項資金資助項目(14C002)

王洋,男,四川西充人,西華師范大學計算機學院碩士研究生;趙海軍，男, 四川廣安人,教授,碩士導師.

TP393.17

A

1008-7974(2016)04-0076-04