理解數學關注學情優化教法——談談用頻率估計概率的教學

理解數學關注學情優化教法——談談用頻率估計概率的教學

向利平

與統計與概率板塊的諸多教學內容一樣，老師們對用頻率估計概率這一內容的教學沒有引起重視。一種現象是，教學時常常要學生自讀課本，然后告訴學生“通過大量重復試驗獲得的隨機事件發生的頻率可以作為該隨機事件發生的概率”，最后花大量時間進行題型訓練。另一種現象是，老師本身對與教學內容相關的背景知識理解不到位，有一些錯誤認識，導致課堂中常常出現一些錯誤的做法或說法。本文擬從教學內容的相關背景知識、教學目標定位等方面談談自己的認識和理解，并提出一個教學設計案例，以求拋磚引玉。

一、與教學內容相關的背景知識

1.概率

現實世界中有確定和不確定兩類現象，我們把不確定現象稱作隨機現象。隨機現象是否一定發生是不確定的，但隨機現象發生的可能性是存在的。為此，人們常常關心這樣的問題：隨機現象發生的可能性是否有大有小呢？除了定性的有大有小，是否還可以定量地刻畫呢？

研究隨機現象的基本方法是隨機試驗，隨機試驗的結果是不確定的，每種可能的結果稱為隨機事件。在一次隨機試驗中，一個隨機事件是否發生是沒有什么規律的，但我們不斷地重復做同一個試驗時，隨著試驗次數的增多，隨機事件發生的規律性便呈現出來了，我們把這種規律性叫做隨機現象的統計規律。概率論就是研究這種統計規律的數學分支。

隨機事件發生的可能性有大有小。為了精確地定量刻畫隨機事件發生的可能性大小，數學中引入了概率這一概念。概率就是隨機事件發生的可能性大小的數量表達。

現實生活中的隨機現象是千姿百態、豐富多彩的。為了研究的方便，我們將隨機現象分成一些基本類型。比如，前面學習了的用列舉法求概率的古典概型，課本例題和練習題中涉及的用轉盤及各分區的面積求概率的幾何概型，等等?，F實世界中還有很多隨機現象，我們不能直接通過計算得到某一隨機事件發生的概率。比如，拋一枚圖釘，針尖著地的概率，某人站在籃球場的罰球線上投籃投進籃筐的概率，等等。用頻率估計概率可以解決這類不能直接通過計算求得的概率問題。

2.用頻率估計概率

以拋擲硬幣試驗為例，如果僅做一次拋擲1000次硬幣的試驗，我們可以計算出硬幣正面朝上的頻率，但無法談正面朝上頻率的規律。但如果我們繼續做第2次、第3次直到第k次試驗，每次拋擲硬幣的次數n足夠多，正面朝上頻率的規律就表現出來了，它總在一個定值附近波動。從這k次拋擲試驗的結果對比中，我們還可以發現，一般來說拋擲硬幣的次數n越多，正面朝上的頻率與那個定值相差越小。也就是說，雖然n次試驗所得到的頻率各不相同，但只要n足夠大，頻率就會非常接近一個固定的值。這種規律稱作頻率的穩定性。頻率的這種穩定性說明了一個事件發生的可能性有大小可言，這也使得用頻率測量概率成為可能。事實上，概率論中的大數定律是已經證明過了的：當重復試驗次數足夠多時，某一事件出現的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。

理解用頻率估計概率要注意以下幾點：一是可以用大量重復試驗中隨機事件的頻率作為隨機事件概率的估計值；二是頻率不能等同于概率，兩者有本質區別:頻率依賴于試驗，而概率是隨機事件本身固有的屬性，是客觀的，不依賴于具體試驗而存在；三是在不同的n次試驗中，即使試驗次數n相同，但同一事件發生的頻率也可能不相同，因此不能誤認為試驗1000次獲得的結果就一定比試驗100次獲得的結果更準確。

3.隨機試驗設計及數據分析

歷史上很多人做過成千上萬次拋硬幣試驗，湘教版和人教版教材都列出了一些著名試驗的結果。下表是人教版教材中列出的幾個著名試驗。

試驗者拋擲次數n正面向上的次數m棣莫弗2048 1061 0.5181布豐4040 2048 0.5069費勒10000 4979 0.4979皮爾遜12000 6019 0.5016皮爾遜24000 12012 0.5005正面向上的頻率m n

對以上這些試驗的認識應把握如下幾點：

①這個表列出了4個人所做的5次試驗，每一次拋擲試驗的次數為n，這里面的兩個次數的意義是不一樣的；

②當拋擲次數n很大時，從5次試驗的結果看，硬幣正面向上這一隨機事件發生的頻率均是在固定值0.5上下波動；

③隨著拋擲次數n的不斷增大，正面向上的頻率越來越接近0.5這個固定值；

拋擲硬幣的問題屬于古典概型，我們知道正面向上的概率是0.5。正因為事先知道正面向上的概率是0.5，歷史上很多人便利用拋擲硬幣試驗研究頻率與概率間的關系。拋擲硬幣試驗實際上有兩個目的，一是探究大量重復試驗中隨機事件發生的頻率的統計規律，發現頻率的穩定性；二是驗證可以將大量重復試驗的頻率作為概率的估計值。這兩個目的實際上也是本節課教學所要達成的目標。

要發現頻率的穩定性，當然需要做很多次“n次試驗”，對很多次“n次試驗”獲得的隨機事件發生的頻率值進行收集、整理并作分析，看看這很多個頻率值是不是具有穩定性，看看這很多個頻率值在哪個固定值附近波動。這很多次“n次試驗”及數據分析的方式如下表所示。

試驗次序重復試驗次數n 隨機事件發生的頻率m n隨機事件發生的次數m第1次n1m1m1n1第2次n2 n2m2第3次n3m3……m3 n3……第k次nkmkmk m2 nk

二、本節課的目標定位

僅從知識目標而言，課程標準對該內容的要求并不高，僅一句話：知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率。但從理解數學，從整個統計與概率的過程與方法目標的角度看，本教學內容有很重要的價值。結合教學內容的特點，本節課的教學目標可作如下定位：

引導學生經歷提出問題，設計試驗，收集數據，整理和分析數據的過程；探究大量重復試驗中隨機事件發生的頻率的統計規律，發現頻率的穩定性，體會頻率與概率的關系。信服地接受“通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率”。

三、教學過程的一些困難及突破

通過前面的背景知識分析我們知道，要獲得理想的結論，需做要多輪次的足夠次數的隨機試驗。但課堂的時間是有限的，要達到多輪次的足夠次數的試驗顯然不可能。因此，我們可將全班同學分成若干（比如說14）個試驗小組，各組在相同條件下做一定次數（比如說50次）的重復試驗，在收集和整理數據時采用累計的方式，就可以得出14輪次的14個數據，且第14輪次的試驗次數可達到700。

由于是將全班同學分成若干個小組合作進行同一個試驗，因此試驗的規則、試驗中的注意事項等均需要在試驗前進行很好的示范和統一。

教材中提供的拋擲硬幣試驗雖然是很經典的試驗，但由于學生事先已經知道了試驗結果，觀客上不容易引發學生的探究欲望，容易引發應付的情緒，甚至應付式的謊報數據。因此，有必要將問題進行改進，使學生在試驗前并不知道試驗的結果，但試驗結束后又可進行驗證。

試驗結果與預設的結果難免存在一定程度的偏差，會出現哪些偏差，對出現的數據偏差如何解釋，教師在教學設計時應做好思考和預設。

四、教學設計案例

（一）復習用列舉法求概率，提出新的問題。

問題1：不透明的布袋中有20個玻璃珠，其中黃色的15個，紅色的5個，每個玻璃珠除了顏色不同外都一樣。從中任意摸出一個玻璃珠，摸到紅色玻璃珠的概率是多少？

問題2：（出示事先準備的不透明的布袋，內裝4個黃色玻璃珠和1個紅色玻璃珠）這個袋子里裝有黃色玻璃珠和紅色玻璃珠共5個，但我不知道里面有多少個黃色玻璃珠和紅色玻璃珠?，F在老師想知道從袋中任意摸一個玻璃珠，摸到紅色玻璃珠的概率是多少。請同學們幫我想想辦法，怎么辦？

（二）分析問題，設計試驗方案，分組操作試驗。

引導學生分析問題2：這個隨機事件共有5種可能的結果，但我們不知道有哪5種可能的結果，所以不能通過計算得出摸到紅色玻璃珠的概率，看來只好進行試驗了。

問題3：這個試驗該怎么做呢？做試驗的過程中要注意些什么？需要記下哪些數據？（學生討論之后教師小結，提出試驗要求）

學生活動：將全班同學分成14個小組，每個小組分別進行50次摸玻璃珠試驗，并記下這50次試驗中摸到紅色玻璃珠的次數。

（三）整理并分析試驗數據，體會“隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近波動，顯示出一定的穩定性”。

1.引導學生將試驗的數據累計并匯總，完成下面的統計表和散點統計圖。

師生交流達成如下共識：為了節省試驗的時間，把第1組同學的50次摸玻璃珠試驗作為第一輪試驗，將數據填在第1列中；把第1、2組同學的100次摸玻璃珠試驗作為第二輪試驗，將數據填在第2列中；把第1、2、3組同學的150次摸玻璃珠試驗作為第三輪試驗，將數據填在第3列中。這樣，我們就相當于做了12個輪次的試驗。摸到紅玻璃珠頻率

摸玻璃珠次數50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700摸到紅玻璃珠次數摸到紅玻璃珠頻率

2.觀察統計圖表，思考并回答下列問題：

①隨著摸玻璃珠試驗輪次的增加，摸到紅玻璃珠的頻率值有什么規律？

②請同學們打開裝有玻璃珠的袋子，看看里面有幾個黃色玻璃珠，幾個紅色玻璃珠。用前面所學的列舉法計算，摸到紅色玻璃珠的概率是多少。

③比較一下，隨著摸玻璃珠次數的增加，摸到黃色玻璃珠的頻率值與摸到黃色玻璃珠的概率有什么關系？

（四）歸納小結，得出新知識。

教師歸納并小結：實際上，人們從長期的實踐中觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率總在一個固定值附近波動，顯示出一定的穩定性。這一統計規律是由瑞士數學家雅各布·伯努利最早闡明，數學上稱其為大數定律。值得一提的是，伯努利家族前后三代共出了13位大數學家和大物理學家。

正是有了這一規律，我們便可以用大量重復試驗所得的隨機事件發生的頻率作為該事件發生的概率的估計值。

（五）提出新問題，促進學生認知水平的深化。

進一步觀察統計圖表，思考并回答下列問題：

1.1000次摸玻璃珠試驗獲得的頻率值是否一定比500次摸玻璃珠試驗獲得的頻率值更接近該事件發生的概率？

2.要獲得較準確的概率估計值，在收集試驗數據時應注意些什么？

（六）練習鞏固，應用新知。

在同樣條件下對某種小麥種子進行發芽實驗,統計發芽種子數，獲得如下頻數分布表。

實驗種子n（粒）1550100200500 1000 2000 3000發芽頻數m（粒）044592188476951 1900 2850發芽頻數0

（1）計算表中的各個頻數；

（2）估計該小麥種子的發芽概率；

（3）如果播種該種小麥每公頃所需麥苗數為4181818棵，種子發芽后的成秧率為87%，該小麥種子的千粒質量為35g，那么播種3公頃該種小麥，估計約需麥種多少kg？

（七）小結與作業布置（略）。

（作者單位：長沙市岳麓區教研室）