高數在經濟學中的應用舉例

李雪峰

【摘要】高等數學是學習經濟學的重要工具.但很多學生卻對高數的學習不重視.本文通過幾個實例來說明高數在經濟學中應用，以提高學生對學習高數的積極性.

【關鍵詞】高等數學；經濟學；應用

高等數學是經管類專業的一門基礎課，但很多學生認為學習高數“沒有什么用”，因而對學習高數失去興趣，覺得它枯燥乏味.即便是學習也只是為了應付考試，并沒有真正掌握.本文就通過一些例子說明高數在經濟學中的應用，以提高學生對學習高數的興趣，從而使學生們重視高數的學習.

特別說明，本文中涉及的經濟函數的定義出自書[1]和[2].

一、在經濟學中的幾個常用函數

（一）需求函數與供給函數

需求函數是指消費者在一定的價格水平上對某種商品有支付能力的需要：人們對某一商品的需求受許多因素的影響，如價格、收入、替代品、偏好等.一般研究中，需求量Qd是價格p的函數，此函數稱為需求函數，記為Qd=f（p）.

供給函數是生產者或銷售者在一定價格水平上提供市場的商品量.一般而言，供給量Qs是價格p的函數，記為Qs=g（p）.

（二）總成本函數

成本是指生產制造產品所投入的原材料、人的勞動力與技術等生產資料的貨幣表現.它是產量的函數，記為C（x），其中x為產量.

總成本函數由固定成本和可變成本兩部分組成.固定成本與產品的產量（或銷售量）x無關.可變函數是x的函數，因此總成本是x的函數，記為

C（x）=C0+V（x）

其中C0是固定成本，x是產量（或銷售量），V（x）是可變成本.

（三）總收益函數和總利潤函數

總收益函數是指一定量的產品出售后所得到的全部收入，若產品的銷售單價為p，銷售量為x，則總收益函數為R（x）=P（x）.

平均收益函數為R（x）=R（x）x=xP（x）x=P（x）.

若產品的銷售量即是生產量，則生產x單位產品的總利潤函數等于總收益函數與成本函數之差，即L（x）=R（x）-C（x）.

（四）邊際函數與彈性函數

設函數y=f（x）可導，則導函數f′（x）在經濟學中又稱為邊際函數.

設函數y=f（x）在點x0處可導，函數的相對改變量Δyy0=f（x0+Δx）-f（x0）f（x0）與自變量的相對該變量Δxx0之比，當Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在，則稱此極限為f（x）在x=x0處彈性，記為EyEx|x=x0.

若f（x）在任意x處可導，則稱EyEx=xy·f′（x）為f（x）在x處的彈性函數.

二、極限在經濟方面的應用

極限概念是微積分中最基本的概念.微積分中很多概念都是用極限概念來表達的.如導數和定積分在定義時都是建立在極限概念的基礎之上.而在經濟學中同樣有很多概念也是通過極限概念來定義的.所以掌握極限的概念及其思想方法對于掌握經濟學中重要概念有很大的幫助.下面就通過一個例子——復利與連續復利問題，來說明極限在經濟學中應用.

例1有本金10000元，存款一年，年利率為12%，求到期本利之和為：

（1）如果一年計息1期；（2）按連續復利計息.

三、經濟中的最值問題

在生產銷售中，到處可見“最大、最小”這類問題.生產者追求最低成本，銷售者要得到最大利潤等等.這些實際問題的解決辦法就要借助高等數學中的求解最大值與最小值的方法.

例2某專門賣寵物用品連鎖店的市場推銷部門研究他們銷售的金魚缸泵價格需求曲線近似為

p=120-20lnx（0

其中x為每周銷售這種泵的數量，p是每個泵的價格（以元為單位）.若每個泵的成本為30元，試求每周取得利潤的最大值以及相應的每周泵的銷售量.

解由已知可求得收益函數R（x）為

R（x）=px=（120-20lnx）x=120x-20xlnx.

其成本函數為C（x）=30x，

因此利潤函數為

L（x）=R（x）-C（x）=120x-20xlnx-30x

=90x-20xlnx，

則L′（x）=90-20lnx-20=70-20lnx.

令L′（x）=0，求得L（x）的駐點為x=e72≈32.

又因為L″（x）=-20x<0，

所以L（x）在x=32處取得極大值.而在0

L（32）=90×32-20×32ln32=640（元）.

此時相應每個泵的價格為p=120-20ln32≈50（元）.

四、定積分在經濟學中的應用

學了一元函數積分學后就知道在經濟學中的成本函數，總收入函數，利潤函數分別是邊際成本函數，邊際收入函數，邊際利潤函數的原函數.那么再根據定積分定義及其計算方法，便可求得相應的函數.

例3已知某商品的邊際收益為R′（x）=200-12x（元/單位），其中x表示該商品的產量.求該商品的總收益函數，并求當商品的產量達到100單位時總收益.

解函數為

R（x）=∫x0（200-12t）dt=[200t-t24]x0=200x-x24，

則平均收益函數為R（x）=R（x）x=200-x4.

當生產100單位時，總收益為

R（100）=200×100-10024=17500（元），

平均收益為R（100）=200-1004=175（元）.

高等數學在經濟學中的應用的例子還有很多，由于篇幅有限，在此不再列舉.通過這些例子，足以說明學習高數對于經管類專業學生的重要性.沒有高數課程的鋪墊，專業課就很難順利進行.學習高等數學不僅為專業課的學習打下了堅實的基礎，而且還可以在學習的過程中不斷培養學生們的邏輯思維能力.這種能力可以更好地幫助我們解決很多實際問題.

【參考文獻】

[1]莊興元，董建華.高等數學[M].北京：北京理工大學出版社，2009：2-5.

[2]竇連江.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006：13-14.

[3]張慶堯.實用數學[M].北京：機械工業出版社，2008：111-114.