從一到高考試題探索數(shù)列不等式的解法

劉利平

中圖分類號(hào)：G634文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）12-0038-01

在我校所用的高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料上出現(xiàn)了這道2012年廣東高考數(shù)列題，本文旨在通過(guò)對(duì)該題最后一問(wèn)的證明，梳理數(shù)列不等式幾種常見的證明方法及探索的過(guò)程。

上述各種證法的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是先將不能求和的數(shù)列的通項(xiàng)放大成為能夠求和的遞縮等比數(shù)列的通項(xiàng)（遞縮等比數(shù)列是指公比q<1，q≠0的等比數(shù)列），將等比數(shù)列求和之后再與不等號(hào)右邊常數(shù)比較大小。

注意到正整數(shù)指數(shù)冪和二項(xiàng)式的關(guān)系，還能將1an的通項(xiàng)1an=13n-2n放大成一個(gè)能裂項(xiàng)相消的數(shù)列的通項(xiàng)。

上述的策略一涉及到了以下兩種具體的處理方法。

1.以某一不等關(guān)系為依據(jù)建立起相鄰兩項(xiàng)的不等關(guān)系進(jìn)行逐層遞推放縮，以尋求各項(xiàng)與首項(xiàng)的不等關(guān)系。這種方法有時(shí)稱為迭代放縮法。

2.利用二項(xiàng)式定理將通項(xiàng)展開后進(jìn)行適度放縮，有時(shí)展開后只需保留其中一部分就可達(dá)到放縮的目的。對(duì)通項(xiàng)式進(jìn)行裂項(xiàng)處理，并對(duì)其中某些項(xiàng)的分母進(jìn)行適當(dāng)放縮，構(gòu)成便于加減相消的結(jié)構(gòu)，使題目容易證明。

策略二 將不等號(hào)兩邊式子看成兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，分別算出通項(xiàng)，然后比較通項(xiàng)的大小，有時(shí)也稱為通（逐）項(xiàng)比較法。

因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。對(duì)于本題中最后一問(wèn)的一題多解，讓學(xué)生在對(duì)比中總結(jié)恰到好處的放縮方法，把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。建議學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中把相同類型的數(shù)列不等式題目收集起來(lái)，多題一解，把本文所提到各種方法用熟用透。

（作者單位：成都石室中學(xué)）