從一到高考試題探索數列不等式的解法

劉利平

中圖分類號：G634文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0038-01

在我校所用的高三數學第一輪復習資料上出現了這道2012年廣東高考數列題，本文旨在通過對該題最后一問的證明，梳理數列不等式幾種常見的證明方法及探索的過程。

上述各種證法的實質是一樣的，都是先將不能求和的數列的通項放大成為能夠求和的遞縮等比數列的通項（遞縮等比數列是指公比q<1，q≠0的等比數列），將等比數列求和之后再與不等號右邊常數比較大小。

注意到正整數指數冪和二項式的關系，還能將1an的通項1an=13n-2n放大成一個能裂項相消的數列的通項。

上述的策略一涉及到了以下兩種具體的處理方法。

1.以某一不等關系為依據建立起相鄰兩項的不等關系進行逐層遞推放縮，以尋求各項與首項的不等關系。這種方法有時稱為迭代放縮法。

2.利用二項式定理將通項展開后進行適度放縮，有時展開后只需保留其中一部分就可達到放縮的目的。對通項式進行裂項處理，并對其中某些項的分母進行適當放縮，構成便于加減相消的結構，使題目容易證明。

策略二 將不等號兩邊式子看成兩個數列的前n項和，分別算出通項，然后比較通項的大小，有時也稱為通（逐）項比較法。

因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發展學生的思維能力，提高學生分析問題的能力。對于本題中最后一問的一題多解，讓學生在對比中總結恰到好處的放縮方法，把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。建議學生在平時的學習中把相同類型的數列不等式題目收集起來，多題一解，把本文所提到各種方法用熟用透。

（作者單位：成都石室中學）