《數(shù)字信號(hào)處理》中存在的難點(diǎn)問(wèn)題解析

王海鵬　叢瑜　王萌

摘要：《數(shù)字信號(hào)處理》這門(mén)課程中，概念多，公式復(fù)雜，許多難點(diǎn)問(wèn)題成為了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的絆腳石，如線(xiàn)性卷積、周期卷積和圓周卷積的概念，三種傅里葉變換的概念及相互之間的關(guān)系等。本文在具備大量教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，針對(duì)難點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解析，讓學(xué)生能夠理清思路，撥開(kāi)云霧，以此激發(fā)學(xué)生的積極性。

關(guān)鍵詞：數(shù)字信號(hào)處理； 卷積； 傅里葉變換

中圖分類(lèi)號(hào)：G434文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）12-0083-02

數(shù)字信號(hào)處理[1]作為信息處理、電子工程等專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，有很強(qiáng)的理論性和實(shí)踐性，對(duì)于學(xué)生從事電子類(lèi)的工作和繼續(xù)深造電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)，都有不可低估的基石作用。但是由于這門(mén)課程公式繁雜、理論性強(qiáng)、很抽象，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中顯得有些力不從心。為了能夠解決學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍遇到的一些難點(diǎn)問(wèn)題，本文做了詳細(xì)的解析。

一、線(xiàn)性卷積、周期卷積和圓周卷積

卷積[2]是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一種重要運(yùn)算，也是信號(hào)處理中的一個(gè)重要理論。在線(xiàn)性系統(tǒng)中，如果輸入信號(hào)是x（n），系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是h（n），則輸出信號(hào)為x（n）和h（n）的卷積。卷積描述了信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的變換，反映了線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)中輸入和輸出的關(guān)系，但是在數(shù)字信號(hào)處理中出現(xiàn)了三種卷積，線(xiàn)性卷積、周期卷積和圓周卷積，這三種卷積往往使學(xué)生感到很迷惑，容易混淆。

線(xiàn)性卷積：y（n）=x（n）h（n），x（n）的長(zhǎng)度為N1，h（n）的長(zhǎng)度為N2；

周期卷積：（n）=（n）（n），（n）和（n） 的周期為N ；

圓周卷積：y（n）=x（n）h（n），x（n） 和 h（n）的長(zhǎng)度均為N，不足者補(bǔ)零。

首先三種卷積針對(duì)的對(duì)象不同，線(xiàn)性卷積針對(duì)的序列x（n）和h（n）是任意的兩個(gè)序列，而周期卷積針對(duì)的是兩個(gè)周期序列和，而且周期同樣都為N。圓周卷積針對(duì)的對(duì)象是有限長(zhǎng)序列（n） 和（n），而且圓周卷積和周期卷積沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，它和周期卷積的過(guò)程是一樣的，只不過(guò)結(jié)果只取了主值區(qū)間而已。其次三種卷積后的序列的長(zhǎng)度有所不同。假設(shè)輸入序列x（n） 的長(zhǎng)度為 N1，h（n）的長(zhǎng)度為N2，則線(xiàn)性卷積后序列的長(zhǎng)度L為N1+N2-1。周期卷積后的序列依然是一個(gè)周期序列，而且周期跟輸入序列的周期一樣都為N。圓周卷積后序列的長(zhǎng)度也為N，注意這里的N是周期序列的周期，N可能大于L，也可能小于L。當(dāng)N≥L時(shí)，線(xiàn)性卷積和圓周卷積的結(jié)果是一樣的，當(dāng)N≤L時(shí)，N點(diǎn)的圓周卷積是線(xiàn)性卷積的結(jié)果以N點(diǎn)為周期的周期延拓序列的主值序列。如果學(xué)生能夠從這兩個(gè)方面對(duì)三種卷積進(jìn)行比較的進(jìn)行學(xué)習(xí)，將會(huì)使得對(duì)問(wèn)題的理解更容易些。

二、離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）和離散傅里葉變換（DFT）

在教學(xué)過(guò)程中，需要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是，本門(mén)課程的重點(diǎn)是離散傅里葉變換。DTFT和DFS實(shí)際上是學(xué)習(xí)DFT之前的預(yù)備知識(shí)，DFT才是數(shù)字信號(hào)處理的核心知識(shí)。所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要遵循既要相互區(qū)別又要相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)方法，才能真正地理解所學(xué)知識(shí)點(diǎn)[3]。

傅里葉變換是法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家傅里葉在1807年發(fā)表了一篇論文，提出任何連續(xù)周期信號(hào)的都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€(xiàn)組合而成，從而開(kāi)辟了分析信號(hào)的另一個(gè)領(lǐng)域——頻域。傅里葉變換顯然是時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在理解DTFT、DFS和DFT時(shí)，顯然要弄清楚這三種變換在時(shí)域和頻域的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

首先在時(shí)域上，離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的研究對(duì)象是任意一個(gè)序列，例如正弦序列，離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）研究的對(duì)象是周期序列，如復(fù)指數(shù)序列ejωn，而離散傅里葉變換（DFT）的研究對(duì)象是有限長(zhǎng)的序列，如矩形序列RN（n）。

其次在頻域上，離散時(shí)間傅里葉變換的頻譜是連續(xù)且周期的函數(shù)，周期為2π。傅里葉技術(shù)的頻譜是離散且周期的函數(shù)，周期為N。離散傅里葉變換的頻譜是離散且非周期的，長(zhǎng)度為N。

在區(qū)別DFS和DFT的時(shí)候，一定要記住，DFS和DFT沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，DFT只不過(guò)是時(shí)域和頻域均取了一個(gè)周期的值而已。在DTFT和DFT的區(qū)別中，DFT是DTFT進(jìn)行離散化后的取值。

三、z變換、拉普拉斯變換和離散時(shí)間傅里葉變換

z變換在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用如同拉普拉斯變換在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的作用一樣，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，使得求解大大的簡(jiǎn)化。由于數(shù)字信號(hào)是又連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣得到的，故數(shù)字信號(hào)的z變換與被采樣的連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換有密切關(guān)系。

學(xué)生往往對(duì)這三種變換之間的關(guān)系容易混淆，故將此關(guān)系進(jìn)行梳理，找到相互聯(lián)系的關(guān)鍵點(diǎn)，才能很好的進(jìn)行理解。首先由表1看出，三種變換的研究對(duì)象分別為x（n）、x（t）和x（n），這三種信號(hào)的關(guān)系是理解三種關(guān)系的關(guān)鍵，即x（n） 是由x（t）采樣得到的，在采樣點(diǎn)上，x（n）和x（t）的數(shù)值是一樣的。通過(guò)s平面到z平面的映射關(guān)系為紐帶，并由奈奎斯特定理可知，得到x（n）的z變換和被采樣信號(hào)x（t）的拉普拉斯變換之間的關(guān)系式為X（z）z = esT = 1T∑∞k = -∞Xa （s-j2πTk）。由該式可以看出，時(shí)域的抽樣導(dǎo)致了頻域的周期延拓，z變換中蘊(yùn)含著周期性。

由表1第二列的關(guān)系式 z=ejω可以看出，序列在單位圓上的z變換，就是序列的離散時(shí)間傅里葉變換。

四、高密度譜和高分辨譜[4]

在分析數(shù)字信號(hào)的頻譜時(shí)，我們往往很關(guān)心信號(hào)的頻率分辨力，對(duì)于信號(hào)x（n），n1≤n≤n2，信號(hào)的長(zhǎng)度為T(mén)0，如果想提高信號(hào)的頻率分辨力，必須增加信號(hào)的有效長(zhǎng)度，使得信號(hào)的長(zhǎng)度 TT0，如果通過(guò)在信號(hào)x（n）后補(bǔ)零來(lái)增加信號(hào)的長(zhǎng)度，是不會(huì)增加頻率分辨力的。這個(gè)問(wèn)題給歷屆學(xué)生帶來(lái)過(guò)困惑，很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為，補(bǔ)零后增加了信號(hào)的長(zhǎng)度，也就提高了信號(hào)的頻率分辨力，這其實(shí)是錯(cuò)誤的。補(bǔ)零后只會(huì)使得信號(hào)的譜線(xiàn)更加平滑，即得到高密度譜，而不會(huì)增加信號(hào)的任何信息，從而不會(huì)提高頻率分辨力。

圖（d）和（e）只顯示了一個(gè)峰值，（e）較（d）更平滑，即補(bǔ)零使得譜線(xiàn)顯得更加平滑，消除了柵欄效應(yīng)，但是無(wú)法分辨出更多的譜線(xiàn)。（f）中則出現(xiàn)了兩條譜線(xiàn)，即能夠?qū)⑿盘?hào)中的兩個(gè)頻率成分分辨出來(lái)，從而說(shuō)明增加信號(hào)的有效長(zhǎng)度，能夠提高信號(hào)的頻率分辨力。

結(jié)束語(yǔ)

本文所述四個(gè)問(wèn)題，均為上課過(guò)程中學(xué)生所普遍遇到的難點(diǎn)問(wèn)題，這些問(wèn)題如同前進(jìn)大道上的溝溝坎坎，容易讓學(xué)生陷進(jìn)去出不來(lái)，如果能夠?qū)⑦@些問(wèn)題迎刃而解，在學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)課的過(guò)程中，思路將更加清晰明了，不僅能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而且能激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造力。

（作者單位：海軍航空工程學(xué)院信息融合研究所）

參考文獻(xiàn)：

[1]程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程（第四版）.清華大學(xué)出版社，2013.08.

[2]于家誠(chéng).數(shù)字信號(hào)處理課程教學(xué)中需要解決的幾大關(guān)系.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009.05，第27卷第3期

[3]耶曉東.數(shù)字信號(hào)處理課程興趣教學(xué)法初探.高教論壇，2011.01第一期.

[4]栗學(xué)麗，劉琚.數(shù)字信號(hào)處理_教學(xué)中易混淆的問(wèn)題討論.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009.08，第31卷第4期