中學生數學直覺思維的開發策略

浙江省奉化市第二中學 周 彬

中學生數學直覺思維的開發策略

浙江省奉化市第二中學 周 彬

伊恩·斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西。”許多重大的發現都是基于直覺，比如歐幾里得的幾何學，阿基米德的辨別王冠的方法，還有苯分子的環狀結構的發現，都是從直覺開始。

究竟什么是數學直覺思維呢？而中學生的直覺思維又該如何開發并且培養呢？直覺思維就是具有意識的人類大腦對于數學對象、數學結構以及數學規律具有敏銳的想象并且作出迅速的判斷。這里最主要的兩個方面是判斷和想象，并且兩者要有機結合，而中學生的思維特點直接影響了判斷和想象的結果。本文就對平時日常教學中，如何開發學生的直覺思維淺析自己的一些思考。

一、重視概念、定義、定理的教學

在平時的教學中，常常出現這樣的現象：題目剛剛出來時，老師還沒有詳細解釋，學生就懂了、會了。因為結論、結果或者答案已被直覺判斷出來。這些同學能夠判斷出來，這和扎實的基礎是密不可分的，扎實的基礎是產生直覺的必經之路。所以要求我們在平時的教學中必須注重概念和定義的教學，只有深刻地理解了定義、概念后，學生的基礎才扎實，很多題目實質上就可以靠直覺順利判斷。比如：

例1 已知點P是拋物線y2=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是則|PA|+|PM|的最小值是_______。

分析：本題憑直覺判斷肯定和拋物線的焦點有關系，具體分析拋物線的定義，拋物線上的點到準線的距離和到焦點的距離相等。拋物線焦點，準線,延長PM交準線于N，由拋物線定義|PF|=|PN|，

因 為 |PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥ |AF|=5，而|MN|=1/2，所 以|PA|+|PM|≥，當且僅當A，P，F三點共線時取“=”，此時P位于拋物線上P′,所以|PA|+|PM|的最小值為9/2。本題如果要順利利用直覺，同學們對拋物線的定義非常熟練的掌握是前提條件。

二、注重學生對某類問題的第一感覺

直覺思維有個非常典型的特征就是隨機性，也叫偶然性。就是說在數學活動中，數學念頭來去十分“短暫”，且數學直覺思維受什么啟迪而一觸迸發令人難以尋覓，所以我們看到題目的第一感覺非常重要。

例2 如圖所示，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯。連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量。現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞。則單位時間內傳遞的最大信息量為（ ）。

（A）26 （B）24 （C）20 （D）19

分析：拿到這個題目的第一感覺就是這個題目肯定是利用加法在計算，進一步分析，其實就是考查分類計數的加法原理，對于此類問題，首先應分清是用分步計數還是分類計數，其次引導學生直覺地意識到每條線路中收到的信息量不超過每相鄰結點間可以通過信息量的最小值，又因為單位時間內傳遞的最大信息量是每條線路單位時間內傳遞的最大信息量之和，因而最大信息量為3＋4＋6＋6＝19。

三、讓學生敢于大膽猜想，養成善于猜想的數學思維習慣

著名科學家牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現?！毙抡n改理念提倡創新，要求學生能收集、選擇、處理數學信息，并依據信息做出合理的推斷和大膽的猜想。合理、科學的大膽猜想是直覺思維的重要形式，也是科學發現的重要途徑。我們在數學教學中，要根據數學教材編寫的特點和學生的認識規律，引導學生自主獨立思考，培養學生大膽進行直覺猜想的習慣。

分析2：當直線PQ的斜率趨向于+∞時，其中一條（不妨設PF）的長度趨向于+∞，而另一條趨向于OF時，從而可求得答案C。

通過分析直線PQ的斜率趨向于無窮大的時候，有效地激發學生的想象空間，提高學生的思維能力。而我們應用“極限”思想去猜測，不需要計算，答案就能“秒殺”了。

例4 證明恒等式：

證法二：將x=a，x=b，x=c代入上式，都能使等式成立，又因為原式為關于x的一元二次方程，

所以最多只有兩個根，

因為此方程有三個根，

所以原式為恒等式。

分析：比較這兩種解題的方法，證法一證明過程比較繁瑣，但是屬于通解法。證法二的思路源于直覺。等式左邊的特點引起了學生的注意，通過觀察發現將x=a，x=b，x=c代入后都能使等式成立。通過大膽的猜想，得到這個方程有三個根，稍加驗證馬上發現此方程，最多有2個根，所以此方程為恒等式，此解法不能不說是巧妙，但是它是建立在大膽猜想的基礎上的。

四、滲透數學的哲學思想，找到數學的美

直覺的產生是來源于對研究對象整體的認知，而哲學思想有利于把握事物的本質。這些哲學思想包含了數學中經常體現的相互轉化思想、運動變化思想、對立統一思想等。

例5 計算：

分析：此題通用解法是依據等比數列的求和公式進行求解，但是發現到算式的結構特點：后一個數總是前一個數的一半，若構造圖1來解此題，令人拍案叫絕。

所以對于很多數學知識和題目，假設能將它們直觀化、形象化，具體化，不但有利于學生對問題的探索和對知識點的理解，還能讓學生感受、認知、體驗數學直覺思維的作用，從而進一步訓練和培養學生的直覺思維能力。

A.60° B.75° C.90° D.120°

五、重視解題教學

教學中選擇精選的例題教學，有利于培養、鍛煉學生的直覺思維。例如選擇題，由于只需要四選一，不需要解題過程，可以有合理的猜想，更適應于直覺思維的發展。還有開放性問題教學，由于問題的條件或結論都不確定，可以從多個角度提出猜想，并且答案也具有發散性的特點，更有利于培養學生的直覺思維能力。

分析：此題如果用常規方法試圖直接解決，比較繁瑣。但是如果有數形直覺，聯系直角坐標系，利用平面兩點之間的距離，解決起來就非常容易。

A.2 B.4 C.5 D.10

分析：通解法：建立直角坐標系，如圖所示，

伊思·斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于將直覺和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！笔芸刂频木窈透挥忻栏械倪壿嬚菙祵W的魅力所在，也是我們數學教育者努力的方向。