“用一元二次方程解決問題”第1課時教學設想

江蘇省淮安市金湖縣金南中學 楊兆忠

“用一元二次方程解決問題”第1課時教學設想

江蘇省淮安市金湖縣金南中學 楊兆忠

本文以蘇科版初中數學九年級上冊第一章第4節“用一元二次方程解決問題”的第1課時為例從教材分析與學情分析，教學目標分析，教法與學法，教學過程等幾個方面闡述教學設想。

一、教材分析與學情分析

一元二次方程是中學數學的主要內容，在初中數學中占有重要地位，其中一元二次方程的實際應用在初中數學應用問題中極具代表性，它是一元一次方程應用的延續，又是二次函數學習的基礎，同時也是研究現實世界數量關系和變化規律的重要模型。

從宏觀來看，學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組以及分式方程等知識，感受了方程模型的作用和價值，已經積累了一些用方程解決問題的經驗；從微觀而言，學生已經學過一元二次方程的解法，為本節課的學習做好了鋪墊。本章第4節第一課時在教材中起著承上啟下的作用，直接影響學生后續的學習效果。本節課筆者將以實際問題為載體，借助有一定挑戰性和思考性的現實問題情境，通過學生的自主探索研究，抽象出一元二次方程。在解決數學內部問題的過程中，幫助學生感悟數學模型的簡明及其使用的廣泛性，從而“由內而外”體現數學模型應用價值的過程。

對初中學生來說，由于缺乏一定的社會生活經歷，收集信息處理信息的能力較弱，因此將實際問題提煉為數學模型是我們設計教學方案時不容忽視的地方。

二、教學目標分析

數學課程標準（2011版）P28頁“第⒈方程與方程組”要求中明確了：第⑴點能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型；第⑺點理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；第⑻點會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；第⑽點能根據具體問題中的實際意義，檢驗方程的解是否合理。結合課標具體要求和初三學生的認知特點，筆者確定了如下教學目標：

1.知識與技能：根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程解應用題、并能根據具體問題的實際意義，討論方程的根，檢驗結果的合理性；

2.過程與方法：經歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力；

3.情感、態度與價值觀：積極參與數學活動、感受成功的快樂、認識數學具有應用廣泛的特點，體會數學的價值；敢于發表自己的想法，能獨立思考、合作交流。

重點：掌握建立一元二次方程的有效模型解決實際問題的過程.學會用列一元二次方程的方法解決有關圖形面積問題。

難點：如何找出圖形面積問題中的等量關系、根的檢驗。

三、教法與學法

教師引導，學生動手操作、自主探索、合作交流，充分發揮學生的主體地位。課堂中，教師通過提供適當的問題情境促使學生的反思，引起學生必要的認知沖突，從而讓學生最終通過其主動的思辨建構起新的的認知結構。

四、教學流程

（一）課堂結構

情境引入→合作探究→新知建構→練習鞏固→小結提升。

（二）教學簡要過程

1.情境引入

一個矩形的長為3cm，寬為2cm。

（1）該矩形的周長為_______cm，面積為_____cm2。

（2）若該矩形的長為3cm，周長為10cm，則它的寬為_____ cm。

（3）若該矩形的周長為10cm，則它的長一定是3cm，寬一定是2cm嗎？為什么？

矩形中長、寬與周長滿足：__________________。

（4）矩形的周長為10cm，設該矩形的長為xcm，則寬為______cm。

設計意圖：通過問題串對矩形長、寬和周長關系進行辨析，為正確表示出矩形的各邊降低難度，從而為順利找到長×寬=面積這一相等關系列出方程做好保障。心理學研究表明，當外部刺激喚起主體的情感活動時，就更容易成為注意的中心，由此我選擇問題串作為情境引入，以此提高學生學習興趣。

2.合作探究

問題1一根長22cm的鐵絲。

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？并說明理由。

通過一根22cm的鐵絲演示抽象出數學模型，找到相等關系列求方程，檢驗根的實際意義并回答問題。1.實物演示后，學生自己獨立思考，找尋等量關系：長+寬=1/2周長、長×寬=面積；2.如何設未知數，列方程；3.怎樣解方程?方程的解是否都符合實際意義?

設計意圖：通過實物演示直觀得出22cm與矩形周長的關系、從而降低矩形已知一邊表示另一邊的難度，審清題意后，抓準問題中的數量關系，找出相等關系，再設未知數和列方程，有利于理清思路，降低列方程解應用題的難度，從而發展學生思維能力。

3.新知建構

例1 如圖所示學校準備在圖書館后面的場地上建一個面積為12m2的矩形自行車棚,一邊利用圖書館的后墻,并利用已有總長為10m的鐵圍欄，（1）請你來設計,如何搭建較合適？（2）如果圖書館后墻可利用長度為5m，那么應如何搭建才合適?

設計意圖：這一問題源于校園生活，學生熟悉但未必深入研究。本題中實則是上題的變式，各邊關系滿足：2寬+1長=總長，對這個問題的理解與處理非常關鍵。請學生獨立審題，并設計問題：長怎樣表示?相等關系是什么?方程的根是否都符合題意?對第2問中可利用長度的理解源于學生生活，體現對實際問題的感受。在層層遞進的問題串下幫助學生理清數量之間的關系，突破難點，建立數學模型。得到方程：x（10－2x）=12解方程,并引導到學生檢驗方程的解是否符合實際意義：當x=2時，10－2x=10－2×2=6＞5，無意義。經歷審、設、列、解、驗、答六環節，培養學生規范的答題格式，以及嚴謹客觀的良好思維品質。

4.練習鞏固

（1）如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為15m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。是否可以圍成面積為45m2的花圃，若可以圍成，此時AB的長是多少m？

（2）縣實驗中學為美化校園，準備在長32m，寬20m的長方形場地上修筑若干條一樣寬的道路，余下部分作草坪，并請全校學生參與設計?，F選取了幾位同學設計的方案（圖紙如下）：

①甲同學方案如圖，已知設計草坪的總面積為540m2，道路的寬為多少？

②乙同學方案如圖，已知設計草坪的總面積為540m2,道路的寬為多少？

③丙同學方案如圖,已知設計草坪的總面積為540m2。道路的寬為多少？

⑷其他方案

第1題針對例題再次展開變式研究，第2題注重通過平移、拆分重組等方法找不同方案下新矩形的長和寬（這是解決問題的關鍵）。初三學生已經有較強的知識遷移能力，通過變式練習，類比例題的解題思想方法進而幫助學生加深對新知的理解，提高解決此類問題的能力。

5.小結提升

學而不思則罔，最后引導學生回顧收獲與交流感悟，幫助形成知識體系。

（1）通常用一元二次方程解決實際問題要經歷怎樣的過程？

（2）用一元二次方程解決實際問題的關鍵是什么？

6.作業：(略)

建構主義認為，教學方法的核心是強調學習者是一個主動的積極的知識構建者。本節內容的教學設想，從審題、到找等量關系、列方程、解方程、檢驗等一系列活動都從學生實際出發，借助適當的問題情景或實例促使學生反思，引起學生的認知沖突，從而讓學生最終通過主動的思考建構起新的認知結構。