有的放矢地消元
——淺談二元一次方程組解法的優化

江蘇省常州外國語學校 周 琦

有的放矢地消元
——淺談二元一次方程組解法的優化

江蘇省常州外國語學校 周 琦

解二元一次方程組常用的方法有代入消元法和加減消元法，這兩種方法都是通過先消去方程中的一個未知數將解二元一次方程組的問題轉化為解一元一次方程的問題。那么，選擇消去哪個未知數，用什么方法消元，直接消元還是間接消元，這些問題都影響著解題的速度和準確率。現通過舉例的方式分類說明如何更有效地解二元一次方程組。

一、直接消元

解析：不要急于解題，先觀察題目特征，我們發現：方程①中x的系數為1，y的系數為4，方程②中x的系數為2，y的系數為－3。方程①中x的系數最簡單，我們可以首先選擇變形方程①，用含有y的代數式表示x，再將這個代數式代入方程②，采用代入消元法。同時，我們也發現方程②中x的系數是方程①中x的系數的2倍，我們可以將方程①乘以2減去方程②，消去未知數x，采用加減消元法。

法一：代入消元法

解：由①得：x=-4y-1 ③

將③代入②得：2（-4y-1）-3y=9

解得：y=-1

將y=-1代入③得：x=3

法二：加減消元法

解：①×2得：2x+8y=-2 ③

③－②得： 11y=-11

解得：y=-1

將y=-1 代入①得：x=3

點評：代入消元法和加減消元法在解決例1的過程中都顯得靈巧便捷，都是不錯的選擇。

二、間接消元

解析：當你看到例3有沒有覺得心跳加速，血壓升高？選擇代入消元法，那巨大的分母，可怕！選擇加減消元法，若先統一y前的系數，面對23×17、63×23、57×17，再進行加減計算，我們那薄弱的計算能力面臨嚴峻考驗。一遍算對也罷，若檢驗出錯，從何找錯，簡直不堪回首。一個字“煩”！有沒有簡單有效的方法呢，請耐心仔細再審題。x，y的系數雖然大但是非常有規律，方程①中的系數等于方程②中的系數，方程②中的系數等于方程①中的系數。將方程①－②，方程①＋②，是不是出現了很神奇的效果？

解：①－②得：6x-6y=6

即：x-y=1 ③

①＋②得：40x+40y=120

即：x+y=3 ④

③＋④得：2x=4

解得：x=2

④－③得：2y=2

解得：y=1

點評：例2中雖然x，y的系數比較大，但是經過觀察分析，很有規律.我們不急著使用代入法或者加減法消去其中一個未知數，而是通過方程①－②，方程①＋②，將原方程轉化為x，y的系數簡單的同解方程，這種方法稱之為間接消元。通過間接消元，方程組的計算量大大減少，錯誤率也隨之降低。

解析：例3中未知數的系數比例2更大，若采用常規的代入法或者加減法，計算更復雜。但我們有了解決例3的經驗，分析例3的角度隨之發生變化，我們不再臉紅心跳，而是淡定從容。我們嘗試方程①－②，方程①＋②，又會有怎樣新的發現呢？

點評：我們嘗試沿用例3的方法：方程①－②，方程①＋②。發現①－②得：x+y=1③，①＋②得：4037x+4033y=4029④。方程④的系數更復雜沒有達到簡化方程的效果，但①－②得到x,y之間的簡單關系，我們再用x表示y，或者y表示x，代入消元；也可以變形方程③加減消元，這個系數復雜的二元一次方程組就迎刃而解了。

如何有的放矢地消元？要解決這個問題的關鍵是分析二元一次方程組的特點，恰當地選擇突破口。當二元一次方程組中有一個未知數的系數為1或－1時，常用代入消元法；當二元一次方程組中有一個未知數的系數相等、互為相反數、倍數關系或不存在任何特殊化簡關系時，不妨使用加減消元法；當二元一次方程組中的兩個未知數的系數復雜貌似毫無規律，但兩個方程通過調整未知數的系數整體加減，化簡得到未知數之間的簡單關系，就不直接消元，采用間接消元的方法先化簡得到未知數之間的簡單特殊關系，再應用代入法或加減法消元。消元法體現了數學中常用且重要的思想方法——轉化思想，將未知轉化為已知，將二元一次方程組的問題轉化為一元一次方程的問題。間接消元則將看似無規律且復雜的二元一次方程組問題轉化為有規律且簡單的同解二元一次方程組問題。只要準確把握二元一次方程組的特點，一定可以優化二元一次方程組的解法！