對(duì)二次函數(shù)中巧用軸對(duì)稱(chēng)性解決線段和最小值問(wèn)題的一些思考

江蘇省泗陽(yáng)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷

對(duì)二次函數(shù)中巧用軸對(duì)稱(chēng)性解決線段和最小值問(wèn)題的一些思考

江蘇省泗陽(yáng)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷

在蘇科版八上《軸對(duì)稱(chēng)圖形》一章中學(xué)習(xí)過(guò)利用軸對(duì)稱(chēng)性解決線段和差最值問(wèn)題，尤其是最小值問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮，而二次函數(shù)中也常出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題。在此，就利用軸對(duì)稱(chēng)性解決二次函數(shù)中線段和最值問(wèn)題進(jìn)行探討。

一、兩條線段之和的最小值

例1：如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2。

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；

分析：

（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的定義易求A（1，0），B（3，0）。所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。由韋達(dá)定理易求b、c的值；

（2）如圖，連接AC、BC，BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接PA。根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可；

解：（1）∵AB=2，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2。

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）。

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。

由韋達(dá)定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

（2）連接AC、BC，BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接PA。

由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

此時(shí)，PB+PC=BC。

二 、三條線段之和的最小值

（1）求拋物線的解析式。

（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為l，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，是否存在x軸上的點(diǎn)M，y軸上的點(diǎn)N，使四邊形DNME的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)畫(huà)出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：

（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=，αβ=-2，進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案；……