江蘇省泗陽(yáng)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷
對(duì)二次函數(shù)中巧用軸對(duì)稱(chēng)性解決線段和最小值問(wèn)題的一些思考
江蘇省泗陽(yáng)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)學(xué)校 劉小艷
在蘇科版八上《軸對(duì)稱(chēng)圖形》一章中學(xué)習(xí)過(guò)利用軸對(duì)稱(chēng)性解決線段和差最值問(wèn)題,尤其是最小值問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮,而二次函數(shù)中也常出現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題。在此,就利用軸對(duì)稱(chēng)性解決二次函數(shù)中線段和最值問(wèn)題進(jìn)行探討。
例1:如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B,AB=2,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2。

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),求△APC周長(zhǎng)的最小值;
分析:
(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的定義易求A(1,0),B(3,0)。所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。由韋達(dá)定理易求b、c的值;
(2)如圖,連接AC、BC,BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,連接PA。根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得到PA=PB,則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC,所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可;
解:(1)∵AB=2,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2。
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)。
∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,
∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。
由韋達(dá)定理,得
1+3=-b,1×3=c,
∴b=-4,c=3,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3;
(2)連接AC、BC,BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,連接PA。
由(1)知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3,A(1,0),B(3,0),


此時(shí),PB+PC=BC。


(1)求拋物線的解析式。
(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為l,與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,是否存在x軸上的點(diǎn)M,y軸上的點(diǎn)N,使四邊形DNME的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)畫(huà)出圖形(保留作圖痕跡),并求出周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析:
(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=,αβ=-2,進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案;……