一道高考題的研究

江蘇省海安縣實驗中學 潘新峰

一道高考題的研究

江蘇省海安縣實驗中學 潘新峰

掌握數學就意味著善于解題。高考考場上遇到新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這樣極有可能解不出來，或耗費大量的時間。2015屆江蘇考生普遍認為第18題難繁，其實本題只要方法得當，不失為一道不錯的中檔題。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，若PC= 2AB，求直線AB的方程。

下面給出第（2）問的解法與大家探討。

分析思路1：直線AB的方程有兩種設法，y=k（x-1）或x=my+1。弦長有兩種求法，（這個在高考解題中要證明）。當然具體解題過程中也可以利用韋達定理，稍微簡化一點運算。下面以江蘇高考試卷給出的參考答案說明以上思路。

（2）設直線AB的方程y=k（x-1），當AB⊥x軸時，，又CP=3，不合題意。

當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-1），，將AB的方程代入橢圓方程，得，則方程的解為，C的坐標為，且。此處還可以用，也可以直接。

若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意。

分析思路2：江蘇高考試卷命題組給出的參考答案思路可行，但方法不是最佳。要想快速解決本題，兩條線段AB、PC的長度千萬不能分開研究，在平面直角坐標中，兩條線段平行或共線，則它們在同一條坐標軸上射影之比等于原線段長度之比；在平面直角坐標系中，如果兩條線段互相垂直，那么它們分別在兩個坐標軸上的射影之比等于原線段長度之比。這是兩個簡單的事實。

例題選講：已知拋物線C1：的焦點F以及橢圓C2：的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：上。

（1）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；

（2）過點F的直線交拋物線C1于不同的兩點A，B，交y軸于點N，已知，求的值；

在解析幾何中，線段關系常有兩種形式出現∶①AB=λ，②AB=λCD（其中λ為常數），第一種形式常用思路1，但運算量稍大。第二種形式，我們常常把線段或向量投影到坐標軸。由此可見，學生在平時的學習中，必須搞好“思路可行”與“方法最佳”的關系。