平面幾何最值問題的解法

錢宜鋒●

江蘇省海安縣隆政初級中學(226611)

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平面幾何最值問題的解法

錢宜鋒●

江蘇省海安縣隆政初級中學(226611)

平面幾何最值問題在近幾年的中考中更加趨于綜合性以及多樣性，以平面幾何為出題背景，將各方面的知識融入其中是創作此類問題的源泉，也因此成為了中考的重點以及難點所在.多樣的解題方法也是此類問題體現出的迷人之處，值得我們探討.

對稱性;不等式;二次函數

平面幾何的最值問題多為在存在動點或者不確定的位置關系的情況下求最值，有兩種解題思路，一個是通過幾何圖形的性質實現對位置的確定，另一個是通過數量關系實現最值問題的解答.

一、利用對稱性質，實現問題簡單化

圖形經過某一點或者軸對稱之后，就會有很多固有的由對稱產生的等量關系，不同的對稱性(如中心對稱、軸對稱等)也有獨特的對稱性質.合理地利用相應的性質會使問題得到簡化，這會給解題帶來很大的幫助.

點撥 本題中是作直線的對稱點，實現直線同側點到異側點的轉化，這是我們在解題中常遇到的情況以及常見的解題方法.對稱性的應用注重于問題的解題技巧，目的是通過對稱性使復雜的問題簡單化.

二、構造不等關系，巧用基本不等式

對于平面幾何問題，不等關系的構造是離不開幾何圖形本身的數量關系的.想要利用基本不等式求解，學生需要在圖形中找出滿足不等式的條件，這不光對于學生的平面幾何知識有考查，還要學生深入理解不等式的相關知識.

例2 已知四邊形ABCD，O點為對角線AC與BD的交點，SΔAOB=4，SΔCOD=9，求四邊形ABCD的面積S的最小值

點撥 本題中對于三角形知識的考察非常深入，將三角形面積間的關系轉化為長度關系進行解答是最為關鍵的步驟，學生要有思維模式的轉化才會想出這一解決方法，而后結合不等式知識解題，否則盲目地求面積是不能實現的.

三、化為二次函數，列出方程再求解

二次函數是初中數學中最重要的一類函數，此處并不是像壓軸題那樣對二次函數進行全面的考察，而是將所求的量轉化為二次函數的形式，利用二次函數的相關性質解題.更加注重于對問題的分析轉化能力.

例3 有一三角形ABC，底邊BC=120，高AD=80，如圖所示，若要在三角形里面畫出一矩形，求該矩形面積的最大值.

點撥 相似三角形的引入讓求線段的長度變得簡單得多.本題中對于最后二次函數的配方變形可謂更為直接，讓學生更直觀地看到函數的最值.

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1008-0333(2016)35-0010-01