巧借圖形性質(zhì)解與圓有關(guān)的最值問題

劉 珍●

江蘇省鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校魅力之城分校(212000)

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巧借圖形性質(zhì)解與圓有關(guān)的最值問題

劉 珍●

江蘇省鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校魅力之城分校(212000)

作為中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，與圓相關(guān)的最值問題以其綜合性強(qiáng)、難度可調(diào)、題型多變等優(yōu)勢(shì)成為了最值問題中非常容易出現(xiàn)的情況.而圖形性質(zhì)又是固定的，針對(duì)不同的問題利用不同的圖形性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵所在.與圓相結(jié)合在一起出現(xiàn)的圖形常見的就是三角形、矩形等，與線段、直線等有關(guān)的性質(zhì)也可以作為圖形的性質(zhì)看待，掌握了這么多的性質(zhì)之后，就可以運(yùn)用不同的方法對(duì)圓的最值問題進(jìn)行求解了.下文就給出三種情況，幫助學(xué)生理解.

一、活用垂線段及等腰三角形性質(zhì)，解決圓中距離問題

垂線段就是某點(diǎn)到某一直線的垂直線段，不論如何點(diǎn)到直線的最短距離就是垂線段的長(zhǎng)度.而作為三角形中的特例等腰三角形又有很多的性質(zhì).將上述相關(guān)性質(zhì)結(jié)合，就可以變?yōu)榻鉀Q一道題的制勝關(guān)鍵.

點(diǎn)撥 對(duì)于直角三角形高的求法有很多種，利用面積相等法求解是我們必須掌握的.同時(shí)題中涉及到的切線以及勾股定理相關(guān)知識(shí)也是學(xué)生必備知識(shí).利用上述幾點(diǎn)提到的圖形性質(zhì)學(xué)生就可以將本題順利解決了.

二、利用圓中弦及三角形相關(guān)性質(zhì)解面積最值

求面積最值的問題關(guān)鍵就在于將面積轉(zhuǎn)化為其他問題求解，因?yàn)槊娣e的求解一定是有多個(gè)量的參與，將其轉(zhuǎn)化成單一變量那就會(huì)很大程度地減少計(jì)算量以及簡(jiǎn)化題目的難度，同時(shí)利用圖形的性質(zhì)就可以輕松解題.

例2 如圖3所示有一半徑為2的圓O上存在M、N兩動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，直線交圓O于A、B兩點(diǎn)，若 ∠AMB=45°，求四邊形MANB面積的最大值.

點(diǎn)撥 作為很經(jīng)典的四邊形面積最值問題，我們這里用邏輯思維和常規(guī)的解法使問題得到了解決.本題的難點(diǎn)就在于如何實(shí)現(xiàn)面積最值的轉(zhuǎn)化，通常此類問題都是不能直接求出的，而本題中正是運(yùn)用了線段長(zhǎng)度代替面積求出的.

三、利用圓的性質(zhì)解最值問題

與圓有關(guān)的最值問題當(dāng)然離不開圓本身，那么如何利用好與圓有關(guān)的性質(zhì)就是我們需要多加練習(xí)的了.

例3 如圖5所示，AC垂直圓O的直徑AB于點(diǎn)A，BD垂直AB于點(diǎn)B，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，AC=2，BD=3，分別求△PCD的面積的最大值和最小值.

點(diǎn)撥 本題中的情況是出題者有意安排的，OC恰好垂直于CD，而此種情況也為接下來的計(jì)算和理論分析帶來了一定的方便，學(xué)生要觀察出此處的隱含的垂直條件，同時(shí)利用圓本身的長(zhǎng)度性質(zhì)解題也是本題中的巧妙之處.

三道不同的題目從不同方面反映出圖形性質(zhì)的多樣性，掌握并學(xué)會(huì)利用各種類型的圖形有利于對(duì)與圓有關(guān)的最值問題的解答，同時(shí)也是學(xué)生必須熟記的知識(shí)，不光是此類問題的求解，對(duì)于平面幾何證明題等多種類型的題目都是有很大好處的，希望學(xué)生可以靈活運(yùn)用，學(xué)會(huì)舉一反三，最終達(dá)到自身解題能力的提升.

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1008-0333(2016)35-0011-01