2016年全國高考試卷中“數列”試題分析

☉西北師范大學教育學院 張定強 閆佳潔

2016年全國高考試卷中“數列”試題分析

☉西北師范大學教育學院 張定強 閆佳潔

數列既是高中數學體系中的重要內容，也是學習高等數學的重要基礎.作為一種特殊的函數，是反映自然界變化規律的基本數學模型，常與其他數學知識緊密聯系.命題者依據《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）的要求，把數列作為考點進行命題，以考查學生基礎知識、數學思想、數學聯系的掌握程度，本文對2016年全國高考數學試卷中數列試題的特點進行分析，并提出了一些教學建議.

一、各地區試卷對“數列”知識考查的題型及分值分析

2016年高考數學文、理科共19套試卷，都對數列知識進行了考查，其中7個地區自主命題（北京、天津、上海、江蘇、浙江、山東、四川文理各一套，江蘇省文理為同一套）有13套試卷，其余各地區分別使用新課標卷I（河北、江西、安徽、福建、河南、廣東、湖南、湖北、山西、廣西）、新課標卷Ⅱ（甘肅、吉林、寧夏、重慶、青海、西藏、黑龍江、遼寧、新疆、內蒙古、海南、山西、貴州、云南）、新課標卷Ⅲ（廣西）共6套試卷.2016年全國19套高考數學試卷按照題型和分值統計結果如表1：

表1 2016年高考數學各套試卷對數列考查題型及分值統計表

上海卷文 1 4 0 0 1 16 2 20理1 4 1 5 1 18 3 27江蘇卷文 1 5 0 0 1 16 2 21理1 5 0 0 1 16 2 21浙江卷文 1 5 0 0 1 15 2 20理1 5 1 4 1 15 2 24山東卷文 0 0 0 0 1 12 1 12理0 0 0 0 1 12 1 12四川卷文 1 5 0 0 1 12 2 17理1 5 0 0 1 12 2 17

從統計數據來看，2016年高考數學對數列知識的考查題目個數是9套試卷1題、10套試卷2道，1套試卷3題，差異不大.從題型的角度看，選擇題僅在10套試卷中出現了數列題，分值是4或5分；填空題僅在4套試卷中出現了數列題，分值也是4或5分；除新課標卷I理科卷外，解答題在其他試卷中都有一道數列題出現，分值分布在區間［12，18］內，大多是12～13分.總之，數列方面的試題在選擇題與填空題方面出現題量差異較大，而在解答題的題量方面相對穩定.

從新課標卷和自主命題試卷來看，除新課標Ⅰ理科卷外，數列在所有的新課標卷的選擇題和填空題方面都沒出題；而自主命題試卷只有北京文、天津文和山東卷在數列方面沒有出填空題、選擇題.由此知道，2016年高考數學19套試卷均考查了數列知識，相比自主命題卷，新課標卷對數列知識的考查題量較少，或者只在大題（解答題）中考查，或者只在小題中考查，而自主命題試卷則對數列知識考查題量較多，大部分自主命題地區大題小題都有.

從文理科卷來看，文科卷共有14道題，總分是152，占每套試卷分值的10.13%；理科卷共有18道題，總分170，占每套試卷分值的11.33%.足見數列知識是高考數學考查的重點內容之一.

二、各地區試卷對“數列”知識考查的試題特點分析

分析2016年高考數學試卷中的數列試題，發現有如下4個方面的特點.

1.以考查等差、等比數列知識為主

《課標》中明確寫道：“通過實例，理解等差數列、等比數列的概念”，“探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式”，［1］而今年的數列考題命題者正是按照《課標》的要求重點考查了等差、等比數列的相關知識；19套高考數學試卷中均有等差數列或等比數列的題目，大部分數列的題目是以解答題形式考查了等差數列或等比數列的相關知識，如通項公式、性質、前n項和等.

例1（北京卷理12）已知｛an｝為等差數列，Sn為其前n項和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=_______.

分析：此題給出了等差數列｛an｝的首項，并且所給出的項都是奇數項，通過等差數列的性質可得到a4=0，從而得到公差d=-2，進而通過首項和公差很容易就會求得前6項之和為6.

例2（新課標卷Ⅰ文17）已知｛an｝是公差為3的等差數列，數列｛bn｝滿足

（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；

（Ⅱ）求｛bn｝的前n項和.

分析：題目給出了｛an｝是等差數列，對數列｛bn｝只給出了第一項和第二項.對第一問，從已知的等式中，不難觀察出當n=1時，等式變為a1b2+b2=b1，容易得到｛an｝的首項，進而得到通項公式an=3n-1；聯系第一問中求得的｛an｝的通項公式，代入等式，化簡可找到bn與bn+1之間的關系，得到｛bn｝是等比數列，進而可以求得前n項和Sn=

2.關注知識間的交叉融合性

分析高考數學試卷中數列知識的考點，發現通常是與相關的知識點聯合考查.數列本身與相關的知識進行融合就會命制出更多精彩的數列試題來.［2］［3］試題的交叉融合性越大，對學生的要求就越高，既需要學生清晰地掌握數列知識，又需要學生掌握與之相關知識間的聯系，把數學知識真正學“透”、學“通”，才能迎接數學思維能力和解題方法的挑戰.就今年試題而言，發現數列與不等式、集合、極限、充要條件、二次函數性質、對數函數性質、三角函數性質、雙曲線性質，以及幾何中三角形的邊和面積知識點等相融合的綜合試題較多.

例3（上海卷理17）已知無窮等比數列｛an｝的公比為q，前n項和為Sn，且下列條件中，使得2Sn

A.a1>0，0.6

C.a1>0，0.7

分析：這道題目給出的是一個無窮等比數列，與極限知識綜合考查，要求根據給出的條件判斷a1和q的范圍.從已知條件和2Sn

例4（天津卷文18）已知｛an｝是等比數列，前n項和為Sn（n∈N*），且

（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；

（Ⅱ）若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中項，求數列｛（-1）nb2｝的前2n項和.

n

分析：本題看似是常規題，重點考查等差、等比數列及數列求和，但在第二問中將對數運算與數列知識巧妙地結合在一起，得到數列｛bn｝的通項公式過渡自然，內涵豐富.

3.試題中植入創新因子，體現創新意識

《課標》中的具體目標之一就是“發展學生的應用意識和創新意識”.［1］縱觀2016年的所有數列考題，就會發現，對于一些數列知識的考查，命題者會利用一些數學知識進行內涵挖掘和外延拓展，如自定義數列，命制一些符合某些特殊條件的數列讓考生進行研究，既能考查數列的某些性質與判定，又能夠與其他部分的知識聯動考查，真正考查學生的創新能力.［4］

例5（新課標卷Ⅱ文17）等差數列｛an｝中，a3+a4=4，a5+a7=6.

（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；

（Ⅱ）設bn=［an］，求數列｛bn｝的前10項和，其中［x］表示不超過x的最大整數，如［0.9］=0，［2.6］=2.

分析：本題第一問是常規題，考查通性通法；第二問數列｛bn｝是自定義數列，解決這一創新問題，就要從新的定義中找到數列｛bn｝的本質，如果學生對｛bn｝的定義出現的取整理解偏差，把握不準確，在解決問題的過程中就會出現錯誤，如果正確理解，就能順利解決這個問題，得｛bn｝的前10項和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.

例6（上海卷文22）對于無窮數列｛an｝與｛bn｝，記A=｛x|x=a，n∈N*｝，B=｛x|x=bn，n∈N*｝，若同時滿足條件：①｛an｝，｛bn｝均單調遞增；②A∩B=?且A∪B=N*，則稱｛an｝與｛bn｝是無窮互補數列.

（1）若an=2n-1，bn=4n-2，判斷｛an｝與｛bn｝是否為無窮互補數列，并說明理由；

（2）若an=2n且｛an｝與｛bn｝是無窮互補數列，求數列｛bn｝的前16項的和；

（3）若｛an｝與｛bn｝是無窮互補數列，｛an｝為等差數列且a16=36，求｛an｝與｛bn｝的通項公式.

分析：本題給出了無窮互補數列的定義，第一問要判斷兩個數列是否為無窮等比數列，學生要么能夠找到一組反例不滿足無窮等比數列其中的任何一個條件，得出結果，要么能夠證明兩組數列是無窮等比數列，而這道題剛好是前者，所以降低了難度；第二問通過已知條件推導，自然地過渡到了數列求和的分組求和上，讓學生體會數學變換的奇特之美；第三問看似是常規的求數列通項公式的題目，實際上還考查到了分類討論的數學思想，內涵豐富.

4.不同試卷數列試題難易程度有差異性

2016年的高考數學試卷中對于數列的考查，從運算的復雜程度和知識的綜合性與交叉性來看，文科和理科難易程度有所不同，新課標卷與自主命題試卷難易程度也有所不同，大致呈現出文科較理科簡單，新課標卷較自主命題試卷簡單的態勢.

（1）同一地區文、理科試題難度適當有別.

今年的高考數學試卷只有江蘇卷出現了文理合卷的情況，其他地區是文、理科分考.文、理科試題對于數列的考查在題目個數、題型及試題難度上均有所差異；部分地區為了使文理科差異保持適度，命題的數量和題型保持一致，但理科卷比文科卷在運算和知識交叉上較復雜，如山東卷.也有部分地區的高考題中，對數列的考查，理科卷從題目個數、題型、試題難度上均比文科卷要復雜，如北京卷.運用曹一鳴與吳立寶例習題難度的計算方法計算，［5］發現同一地區文、理科試題難度適當有別，如山東卷文科的難度值為1.56，理科的難度值為1.75；北京卷文科的難度值為1.94，理科的難度值為2.31，從數據可以看出山東卷和北京卷的理科卷難度值均大于文科卷難度值.

（2）不同地區試題難度不同.

從所有高考試卷中數列題目來看，大部分自主命題試卷對數列的要求高于新課標卷的要求，尤其是在運算的復雜程度、知識的交叉性與綜合性、創新性上較為突出，如北京、天津、上海、江蘇、四川和浙江.用同樣的計算方法可知，不同地區試題難度不同，如新課標卷Ⅱ理科難度值為2.215，北京卷理科難度值為2.31，四川卷理科難度值為2.327，顯然，北京卷理科和四川卷理科的難度值要大于新課標卷Ⅱ理科的難度值.

三、高中數學“數列”教學的三點建議

根據以上分析，不難發現，高考試題對數列的考查集中在對等差、等比數列的考查，大部分試題與其他方面的知識相結合，對學生創新意識與能力的考查不斷加強，在教學中：

1.緊扣考綱，打好基礎

2016年高考數學試題中的數列部分，緊扣考綱考查基本概念，重點考查等差、等比數列相關概念的性質、求公差和公比、通項公式、前n項和等方面的知識，雖然試題千變萬化，但都以基礎知識、基本能力、基本思想、基本活動經驗為基礎.所以在教學中，要以課標為基礎，圍繞教科書，緊扣考綱，對重點內容，如上述所提的知識點要重點復習，夯實基礎知識，訓練學生靈活思維方式，特別是與其他知識相融合后處理問題的方式方法，以提高學生應對高難度試題的能力.

2.注重數列與其他知識的綜合性復習

綜合分析近幾年高考數學試卷中關于數列的試題，大部分試題都是與其他數學知識相關聯而命題的，體現了知識之間的融合性，所以在教學中，要創設多種途徑，如用畫思維導圖、專題講座等形式不斷溝通數列與三角函數、二次函數、指對冪函數、三角形邊角關系、不等式、極限等知識之間的聯系，通過例題、習題、檢測等方式來強化數學知識之間的相互聯系，讓學生在解決問題的過程中靈活運用數列相關的數學思想方法及解決問題模型，體會這些思想方法在解決綜合問題中的力量.

3.精細化創設問題情景以提高學生的創新意識

分析這幾年的高考試題，創新意識在高考試題中逐步彰顯，也成為命制數列試題的一大亮點；這就要求在日常的數學教學中，要不斷創設問題情景，圍繞問題型、方法型、命題型情境創設，重點基于生活情境、科學情境、文化情境、思維情境形成數列方面的情景場域，使學生的學習高效，便于理解、詮釋、反思、探究、創造的深入，更好地理解數列方面的核心概念、掌握數學思想方法，盤活資源，激活思維，提高學生的創新思維，使學生能夠較好地應對一些創新試題，從而提高學生數學思維品質，形成創新意識.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.劉會金.2014年高考“數列”專題分析［J］.中國數學教育（高中版），2014（7-8）.

3.劉會金.2012年高考“數列”專題分析［J］.中國數學教育（高中版），2012（7-8）.

4.高慧明，高宇.全國高考數學“壓軸題”分類研析——以“數列”為主體［J］.中學數學研究，2013（3）.

5.曹一鳴，吳立寶.初中數學教材難易程度的國際比較研究［J］.數學教育學報，2015（4）.