消除差異
——治愈“三角疑難”癥的良方——從近幾年江蘇高考幾道三角壓軸題想到的

☉江蘇省太湖高級中學 張 敏 侯 斌

·江蘇省無錫市王華民名師工作室·

消除差異
——治愈“三角疑難”癥的良方——從近幾年江蘇高考幾道三角壓軸題想到的

☉江蘇省太湖高級中學 張 敏 侯 斌

“繼承與創新”歷來是高考命題的指導思想，江蘇數學高考從2013年以來，以繼承、穩定為主，總體難度控制得比較好，其中近四年的填空壓軸題（第13、14題），大多是三角、向量試題，而以往這類“高大上”試題只能出現在函數、數列、不等式內容中，這個變化點也是江蘇高考試卷的一個創新點.但作為壓軸題，難度自然不低，有的思維要求高，有的信息量大，不少學生不知如何入手.解題差異論認為，解題的過程就是消除條件與條件、條件與結論之間差異的過程，要消除整體與局部、數與形的差異，消除多與少、高與低的差異等，它的理論基礎是哲學中的對立統一規律及反饋原理.［1］

本文透過幾道高考三角填空壓軸題，結合筆者多年的教學實踐，覺得“消除差異”可以有效解決三角中的一些重、難點問題.在三角問題中消除差異，既要消除條件與目標之間的差異，也要消除條件中不同角、不同（函數）名、不同次數的差異.通過消除差異，以便快速尋求解題突破口，幫助學生釋疑解惑，重拾信心.

一、通過三角函數的“名變換”和“角變換”，消除差異

現行高中教材中，三角函數的名稱有正弦、余弦和正切，對于求值、化簡等問題中同時含有“弦”和“切”的問題，一般是“切”化“弦”，有時需要“弦”化“切”，稱為函數“名變換”，以此來消除函數名的差異，再利用“弦”之間或“切”之間的關系求解.如果一個三角函數問題含有幾種不同的角，那么解題時就需要尋求它們之間的聯系，進行“角變換”，以消除“角”的差異.

例1（無錫市高二數學期末檢測題）不查表求值：4sin20°+tan20°.

簡析：該題有正弦和正切兩個三角函數名，消除函數名的差異，一般通過“切”化“弦”，4sin20°+再通分、整理，得因有兩個20°角和1個40°角，需要消除差異角40°，將40°= 60°-20°代入兩角差的正弦公式，整理得

評注：該題雖然消除了函數名的差異，但在通分整合過程中，又產生了角的差異，需要再消除角的差異.實踐表明：解一道較難的三角問題，需要消除差異的往往不止一個.

例2（某四星級高中“三角變換測試”題）已知：求的值.

簡析：測試反饋：有幾個班級的學生得分率不足0.3，可見其難度.本題條件是兩角和、兩角差的正切，目標是二倍角的正弦之比，角與函數名都存在差異.一般學生對“角變換”都能想到，對函數“名變換”也知曉，但因解答程序不合理，仍然困難.有些同學從條件出發，可以求得tan2α，tan2β，但沒有給出角的具體范圍，需要分類的情形比較多，解答煩瑣.以下給出兩種正確的解法.

解法一：（切化弦）由tan（α+β）=-3，得sin（α+β）= -3cos（α+β），同理sin（α-β）=cos（α-β），代入目標式，得

解法二：（弦化切）從目標出發，將目標角2α，2β轉化為條件角α+β，α-β，再展開.

評注：本題切化弦、弦化切都可以，關鍵是解答程序要把握好.解法一是從條件出發，進行切化弦，求出了一個關系，代入目標式，歸到“一個量”，再約分求解，是整體消除差異，而不是像有些學生那樣，求出tan2α；解法二是從目標出發，通過角變換消除角的差異，展開后是一個奇次式，通過同除運算，把“弦”化成了“切”，消除函數名的差異，再把條件直接代入.

二、通過函數“名變換”和“消元法”，消除差異

眾所周知，數學高考考查的側重點之一是通性通法，“消元法”是處理“多變量”或“多字母”問題的通法，在三角函數的“多字母”問題中，出現的函數名、次數的差異，需要利用“消元法”并結合其他方法消除.

例3 （2016年江蘇高考題14）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________.

簡析：其一，條件“sinA=2sinBsinC”含三個角的正弦，目標“求tanAtanBtanC的最小值”含三個角正切的乘積，條件和目標之間的函數名有差異，可以通過“弦”化“切”消除.

其二，條件的左右兩邊的次數不齊，需消除差異，注意到有三個變量即三“元”，自然想到消元，消哪一個呢？如果消sinB（或sinC），展開后變為三次，難以整合，因此只能消sinA.再用兩角和的正弦公式，得sin（B+C）= 2sinBsinC，展開sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，形式為二次奇次式，等式兩邊可同除以cosBcosC，得tanB+tanC= 2tanBtanC ①.

同理，對于目標式的三“元”問題，自然要消元（tanA），得tanAtanBtanC=

將①代入②，設tanBtanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函數關系式通過分離常數4，再利用基本不等式，可求得tanAtanBtanC的最小值是8.

評注：本題通過觀察條件式與目標式，存在函數名、次數等的差異，通過函數名變換、消元，消除其差異，當然過程并非一帆風順.其中，奇次式問題常用“同除”，求最值問題常結合基本不等式，在解題中發揮了重要作用.可見，解決這道高難度的填空壓軸題，思路也很自然，這是緣于用了“消除差異”的策略，它在尋求問題的本質聯系后進行自然轉換.當然，解答本題也可以用“解析幾何”、“基本不等式”等其他方法，這里從略.

三、通過三角函數的“角變換”和“升降冪變換”，消除差異

有些三角問題的次數有高有低，所給的角有二倍角、半角等，如何同時消除次數和角的差異呢？可以通過二倍角的變形式——升降冪公式，在次數升（降）的同時，角也相應變小（大），達成一種新的平衡.有時把一個角拆分為兩個角，再用兩角和與差的正、余弦公式，也能升“次”，達到消除差異.

簡析：本題的角有二倍角（2θ）、半角兩種，角的差異需要消除，一般是將其轉化為單角（θ）.利用升降冪公式：

例5（1997年全國高考題18）的值為________.

簡析：這是一道不查表求值問題，為分式形式，有三個非特殊角，三個角的聯系為15°=7°+8°；正弦或余弦的次數有一次、二次.多元問題一般方法是消元，消哪個角呢？要消除次數的差異，只能消7°（見例3的分析），根據兩角差的正、余弦公式，轉變為二次式：sin7°=sin15°cos8°-cos15°sin8°，同理cos7°=cos15°cos8°+sin15°sin8°.把它代入原式，得tan15°=2-

評注：利用升冪、降冪公式，可以起到縮小、放大角的目的，因此，“升、降冪變換”往往與“角變換”聯用，以消除差異.

四、通過三角形中邊與角的相互轉化，消除差異

對于三角形中的三角函數問題，有的已知邊（或角），求角（或邊），有的已知邊、角混合問題，求邊（或角）的最大（小）值等，需要消除其差異，究竟是“邊”化“角”還是“角”化“邊”，需要根據題目的特點，進行選擇、優化.

簡析：條件是含三個角A、B、C的正弦，目標是求角C的余弦；如何消除條件、目標中的差異，以溝通兩者的聯系呢？對于三個角的正弦函數，可以用正弦定理，把“角”整體轉化為“邊”目標中求角C的余弦的最小值，可以用余弦定理表示，也轉化為邊這樣，就找到了條件、目標的聯系——邊.

評注：本題根據形式特點，利用正弦、余弦定理，把條件、目標式的三角函數中的“角”整體轉換為“邊”來處理，思路比較自然、明確.

例7（2010年江蘇高考題13）在銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c則

簡析：這道試題思維強度大，得分率低.

條件是邊角混合問題，需要消除差異，邊化角還是角化邊，目標式為三個角的正切函數；若邊化角，則為二次結構.

觀察目標式：因可能要利用正弦、余弦定理，故要進行切化弦，并提取公因式，再通分，得

觀察形式結構：分子、分母都是含有正弦的齊次式，可利用正弦定理，同時，對cosC用余弦定理，整理得

由①、②，通過消元（a2+b2或c2），得答案為4.

評注：當時許多考生解答受阻，其一，對于多字母問題不知如何處理，考生沒能主動整理到形式其二，當時復習教學還很少涉及正弦定理與余弦定理的聯用，學生意識不到.本題涉及三角形的邊角關系，需要根據試題的形式、結構特點，合理選用兩個定理.第一次對條件式通分后，選擇余弦定理把角整體化為邊，之后又對目標式切化弦，通分整合后，同時運用正弦、余弦定理，這一解題策略很重要.當然，本題若采用“特殊化”處理（令a=b），則可使解答更簡潔、明快.

與人友好相處，要以誠相待、求同存異，治愈“三角疑難”病癥（重、難點問題）的一劑良方是消除差異，它追求自然的解題，追求和諧之道.明道還需優術，其一，在“消除差異”指導下，要關注目標，理清脈絡，通過選擇三角變換（角變換、名變換和升降冪變換），通過消元，制定合理的解題程序；其二，消除差異的過程有一定的反復，需要有耐心；其三，三角問題往往免不了要結合通分、奇次式同除等常用的輔助手段，綜合問題還需結合基本不等式、導數等常用工具.可見，一定的知識經驗是解決問題的基礎，需要我們不斷累積，在解除疑難后奮力前行.

1.羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.