無規矩不成方圓
——以三視圖為例談立體幾何中的還原策略

☉湖南省長沙市麓山國際實驗學校 劉玲瓏

無規矩不成方圓
——以三視圖為例談立體幾何中的還原策略

☉湖南省長沙市麓山國際實驗學校 劉玲瓏

三視圖是高考對立體幾何模塊的常考題型，考查角度主要有：由三視圖求幾何的棱長、面積、體積；給出幾何體判斷其三視圖等.本文將對此類問題的求解策略歸納總結.以期對學生解答此類問題有所幫助.

一、明確命題根源

從命題的角度來看，此類試題通常以學生所熟悉的常規幾何體為背景，如長方體、正方體等，將長方體或正方體經過切割、分解以后，以新的面目呈現在我們面前.如圖1所示的正四面體，就可以理解為將正方體切割掉4個角后所得的幾何體.

圖1

因此在解答相關問題時，我們可采用還原策略，即將所考查的幾何體還原在常規幾何體中，從而尋找問題的簡潔解法.

例1已知三條側棱兩兩垂直的正三棱錐的俯視圖如圖2所示，那么此三棱錐的體積是_________，左視圖的面積是_____________.

圖2

解法1：（常規解答）設三棱錐為S-ABC（如圖3所示），CD為三角形ABC的中線，作三棱錐的高SM，易知點M在CD上，且點M為三角形ABC的重心.

圖3

因為三角形ABC為等邊三角形且邊長為2，所以三角形ABC的高，其面積為

解法2：（還原策略）根據題目條件可知該三棱錐為正方體的一個角，如圖4所示.所以

圖4

評注：通過以上兩種解法的對比，其優劣程度一目了然.因此在處理相關問題時要準確把握幾何體的特征，準確還原.

二、還原特殊幾何體

1.還原于正方體

例2某三棱錐的正視圖如圖5所示，則這個三棱錐的俯視圖不可能是圖6中的（ ）.

圖5

圖6

解析：對于選項A，可還原幾何體，如圖7所示.

圖7

對于選項B，可還原幾何體，如圖8所示.

圖8

對于選項D，可還原幾何體，如圖9所示.

圖9

故正確選項為C.

評注：不考算，只考想！重點考查空間想象能力、邏輯推理能力.在處理類似問題時不能僅僅停留在直覺層面.拓展思考：（1）俯視圖不確定，能否對所有可能情形進行分類？（2）如果再給出左視圖，能否確定俯視圖呢？

例3 如圖10，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中最長的棱的長度為（ ）.

圖10

解析：如圖11所示，原幾何體為三棱錐D-ABC，其中AB=BC=4，AC=4，DB=DC=2，DA=故最長的棱的長度為DA=6，選C.

圖11

評注：在正方體中找到三棱錐各頂點所在位置是準確還原幾何體的關鍵所在.

2.還原于長方體

例4某三棱錐的三視圖如圖12所示，則該三棱錐的表面積是（ ）.

圖12

解析：該幾何體的長、寬和高不相等，故可將其還原于長方體中，如圖13所示.由三視圖可知長方體的長、寬、高分別為5、4、4，所以在三角形SAB中，利用勾股定理求得所以三角形SAB是以SA為底邊的等腰三角形，易求得其高為6，所以所以該三棱錐的表面積為故正確選項為B.

圖13

評注：將所求三棱錐還原于長方體中，利用長方體的有關性質將問題直接求解.

例5某三棱錐的三視圖如圖14所示，則該三棱錐四個面中面積最大的是（ ）.

圖14

解析：由三視圖可將該三棱錐還原到長方體中，如圖15所示，三棱錐C′-ABD即為已知三棱錐.結合長方體的幾何特征易求得在三角形C′AD中，C′A=所以故正確選項為A.

圖15

評注：在三視圖問題的解答中要注意實線與虛線的區別.本題條件為三棱錐，但俯視圖為四邊形，故其中一點為頂點的投影，進而準確還原.

總之，用好還原策略是解答三視圖問題的有效策略.在解答問題時要準確把握所求幾何的相關特征、準確還原.