格點(diǎn)問題解法探析

龔 杰

(江蘇省南通市海門區(qū)海南中學(xué) 226100)

格點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的重要題型之一，如何熟練掌握并靈活解答這類問題，值得我們進(jìn)行深入探究.以下就格點(diǎn)問題進(jìn)行探索.

1 作指定邊上的高，三等分三角形的面積

例1 如圖1是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．用無刻度的直尺，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)作圖(保留作圖痕跡)．

圖1

(1)在圖1中作△ABC的高CD；

(2)在圖2、圖3中，分別用兩種不同的方法，將△ABC分割成三個(gè)面積相等的三角形．

圖2

圖3

分析(1)如圖1,取點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)D，用SSS證明△EBC≌△BFA，利用互余原理證明.

(2)方法1取BC的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形ABC的一條中線；利用三角形中位線定理，確定AB的中點(diǎn)，確定另外一條中線，中線的交點(diǎn)就是三個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)，與三角形ABC的頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形就是所求.

方法2如圖3，連接AD，則CF=FE=ED=1，利用平行四邊形的判定，平行線分線段成比例定理，確定AC的三等分點(diǎn)，利用等底同高的三角形面積相等，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)．

(2)方法1如圖2，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則AD是三角形ABC的中線，取BG的中點(diǎn)H，設(shè)H所在直線與AB的交點(diǎn)為M，因?yàn)镠M∥AG，BH=HG，所以HM是△ABG的中位線，于是M是AB的中點(diǎn)，連接CM交AD于點(diǎn)F，則△ABF、△ACF、△BCF即為所求.

方法2如圖3，連接AD，則CF=FE=ED=1，連接EG，交AC于點(diǎn)M，因?yàn)锳G=DE=1，AG∥DE，所以四邊形AGED是平行四邊形，所以AD∥GE.連接FH，交AC于點(diǎn)N，因?yàn)镚H=EF=1，GH∥EF，所以四邊形EGHF是平行四邊形，所以AD∥NF，所以M，N是AC的三等分點(diǎn)，則△ABM，△MBN，△NBC即為所求．

點(diǎn)評(píng)畫圖時(shí)，把握好如下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：準(zhǔn)確理解等腰三角形的性質(zhì)，靈活選擇三角形全等，是解題的基礎(chǔ).靈活運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)，也是畫圖時(shí)重要依據(jù)之一，也是畫圖時(shí)需要思考的重要方向；準(zhǔn)確把握和運(yùn)用三角形中位線定理也是畫圖的重要知識(shí)支撐，也是知識(shí)綜合能力重要體現(xiàn).

2 作指定底邊的等腰三角形

例2如圖4，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫圖．

圖4

在圖中找一點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為底的等腰三角形．

分析以最左下端點(diǎn)為原點(diǎn)，以水平格線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，確定A，B的坐標(biāo)，設(shè)C(x，y)，根據(jù)CA=CB，建立方程，化簡(jiǎn)得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)直線解析式，根據(jù)點(diǎn)C是格點(diǎn)，確定方程的整數(shù)解，從而確定等腰三角形的位置．

點(diǎn)評(píng)畫圖時(shí)，要把握好如下幾點(diǎn)：正確理解等腰三角形的判定，這是畫圖的基礎(chǔ)所在；學(xué)會(huì)把點(diǎn)的位置確定轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)來求解，借助方程的整數(shù)解實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)，這種數(shù)學(xué)思維顯得很重要.

3 畫菱形、正方形

例3如圖5，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中，有線段AB和線段CD，點(diǎn)A、B、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上．

圖5

(1)在方格紙中西出以AB為對(duì)角線的正方形AEBF，點(diǎn)E、F在小正方形的頂點(diǎn)上；

(2)在方格紙中面出以CD為一邊的菱形CDMN，點(diǎn)M、N在小正方形的頂點(diǎn)上，且菱形面積為8；請(qǐng)直接寫出△EFN的面積．

點(diǎn)評(píng)通過問題的解決，有如下幾點(diǎn)感悟：靈活運(yùn)用勾股定理，用直尺畫圖即可；畫圖也有結(jié)論的開放型特點(diǎn)，解答時(shí)，需要展開視野，深刻思維，在作圖中培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)散思維的能力；作圖與計(jì)算是兩種能力的有機(jī)交融，作圖是動(dòng)手操作能力，計(jì)算是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最基本的計(jì)算能力，作圖講究技能，計(jì)算也要講究技巧，這也提醒大家，常態(tài)學(xué)習(xí)中，要重視和運(yùn)用每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不能因?yàn)樗季S定勢(shì)，思維習(xí)慣，計(jì)算習(xí)慣，而錯(cuò)失歷練發(fā)散思維的好機(jī)會(huì).

4 解后反思

首先，格點(diǎn)正方形問題題型新穎，在考試中會(huì)讓學(xué)生耳目一新，頗感興奮；其次，格點(diǎn)圖形簡(jiǎn)單，考查知識(shí)明確，解答時(shí)需要用如下方法解決：通常把格點(diǎn)正方形的邊長(zhǎng)看成1，便于計(jì)算；格點(diǎn)線段，連接格點(diǎn)所得到的線段；格點(diǎn)線段一定是某個(gè)直角三角形的斜邊；運(yùn)用勾股定理一定可求格點(diǎn)線段的長(zhǎng)度；運(yùn)用勾股定理逆定理可以判定格點(diǎn)三角形的形狀；把特殊三角形，特殊四邊形的性質(zhì)，判定和性質(zhì)，往往也是解題的重要思考方向，甚至是解題的首選.