同構(gòu)概念的教學思考與實踐

趙云河　王剛　王林

【摘要】同構(gòu)是對代數(shù)結(jié)構(gòu)進行比較和分類的最好方法，它也是解決實際問題的一種具體的手段和重要的工具.高等代數(shù)教學中要重視同構(gòu)概念的教學，要從概念的引入，例題、習題的補充，同構(gòu)思想的運用等方面入手，讓學生充分理解同構(gòu)的概念，強化學生的同構(gòu)思想，提高同構(gòu)概念教學的有效性，培養(yǎng)學生的學習熱情.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；同構(gòu)；教學

【基金項目】云南財經(jīng)大學課程建設(shè)基金項目——線性代數(shù)精品課程建設(shè)（YC41611350005）.

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A

一、問題的引入

在向量空間中，同構(gòu)的概念和思想如下：

定義：設(shè)V和W是數(shù)域F上的兩個向量空間.V到W的一個映射f 叫作一個同構(gòu)映射，如果

（ⅰ）f 是V到W的一一映射；

（ⅱ）對于任意ξ，η∈V，f（ξ+η）=f（ξ）+f（η）；

（ⅲ） 對于任意a∈F，ξ∈V，f（aξ）=af（ξ）.

如果數(shù)域F上兩個向量空間V與W之間可以建立一個同構(gòu)映射，那么就說V與W同構(gòu).

高等代數(shù)主要研究的一個對象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，而對代數(shù)結(jié)構(gòu)進行比較和分類的最好方法就是同構(gòu).同構(gòu)思想是代數(shù)學中一種非常重要而又常見的思想，在高等代數(shù)中的應用也非常廣泛，它是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的共性和差異的一種思想方法，它不但是宏觀上進行重大課題研究的重要思想，而且也是解決實際問題的一種具體的手段和工具.同構(gòu)思想表明，若兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)，則它們是一種等價關(guān)系，將具有相同的代數(shù)性質(zhì)，它告訴我們一個非常深刻的道理，就是兩個集合盡管元素完全不同，運算也各異，但從代數(shù)結(jié)構(gòu)角度來看，可以視為本質(zhì)上是一模一樣的，這就是同構(gòu)的思想.如果兩個向量空間是同構(gòu)的，那么一個向量空間所具有的運算性質(zhì)，另一個向量空間必具有相同的運算性質(zhì).于是在研究一些相對抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)時，我們可以通過建立一個同構(gòu)映射，把它轉(zhuǎn)化到一些相對具體的代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上來討論，達到化難為易，化繁為簡的功效.

在高等代數(shù)教學中，教師講清楚同構(gòu)這部分內(nèi)容，并恰當?shù)匕淹瑯?gòu)思想滲透到教學中，通過習題求解的訓練，讓學生不僅能夠使問題得到簡化產(chǎn)生自信心，而且能逐步形成運用同構(gòu)的思想方法解決實際問題的思維模式和思維習慣，對后續(xù)課程的學習產(chǎn)生積極影響.

如何進行同構(gòu)概念的教學，學生接受情況又如何，是教師應認真進行準備和調(diào)研的，這對有效進行教學非常重要.

二、同構(gòu)概念教學的現(xiàn)狀及實踐

在對正在學和已學過高等代數(shù)的同學進行調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，許多同學對同構(gòu)概念提出了以下幾個問題：

（1）我們知道同構(gòu)是個映射，但不知它想說明什么？

（2）老師一直強調(diào)同構(gòu)很重要，但至今我們也不知同構(gòu)能有什么用？

（3）教材中除了“同構(gòu)”一節(jié)提到同構(gòu)概念外，為什么其他章節(jié)好像再也沒見到明確“同構(gòu)”作用的內(nèi)容？

從調(diào)查及與同學們的交流我們知道，絕大多數(shù)同學對同構(gòu)概念很不清楚，不知道學習它的意義，更不了解它有何作用.這一方面說明了同構(gòu)概念學習的難處，另一方面也說明任課教師在教學上有一定的責任.在教學中，我們應注意以下幾點.

1.讓學生充分理解同構(gòu)概念及其意義

我們的教學安排是大學一年級上、下兩學期學習高等代數(shù).對于大一的學生來說，還沒對向量空間這一抽象概念完全領(lǐng)悟，又進入其下的同構(gòu)概念的學習，懵懵懂懂跟著老師的腳步走，理解和掌握的難度可想而知.尤其對張禾瑞《高等代數(shù)》“向量空間的同構(gòu)”一節(jié)的這段話“一個向量空間就是一個帶有加法和標量與向量的乘法的集合.我們的著眼點主要在于運算，至于這個集合的元素是什么對我們來說是無關(guān)緊要的.從這個意義上來講，同構(gòu)的向量空間本質(zhì)上可以看成一樣的”很難理解.對教材的結(jié)論和性質(zhì)學生往往只能死記硬背，知其然而不知其所以然，更不會靈活運用.

為了能使學生容易理解和掌握同構(gòu)的概念，我們在講解時可先引入這樣一個例子：在中學我們學過復數(shù)a+bi，a，b∈R，那么為什么復數(shù)還能用平面上的點（a，b）表示呢？我們發(fā)現(xiàn)：

（1）全體復數(shù)a+bi，a，b∈R與平面上的點（a，b），a，b∈R存在一一映射f，使得f：a+bi

MT ExtraaA@ （a，b）；

（2）對于任意a，b，c，d∈R，有

（ⅰ）f：（a+bi）+（c+di）

MT ExtraaA@ （a，b）+（c，d）；

（ⅱ）f：k（a+bi）

MT ExtraaA@ k（a，b），k∈R.

即映射f 還保持著線性運算，也就是代數(shù)結(jié)構(gòu)相同，它說明復數(shù)集和平面上的點集之間可以從一個集合的已知結(jié)論去推出另一集合未知的相應結(jié)論.由于全體復數(shù)集合與平面上點集滿足這樣一種關(guān)系，就足以令人信服地把它們視為同一事物.然后在這個基礎(chǔ)上再講解兩個向量空間同構(gòu)的抽象概念，學生會感到直觀生動易于理解，并且進一步認識到全體復數(shù)集與平面上的點集它們都是彼此同構(gòu)的，所以能互相表示同一個集合.學生就容易明白，要研究某一類向量空間，若它們在某個一一對應下關(guān)于運算的結(jié)構(gòu)相同，我們也只要研究其中的一個就行了，這就是學習同構(gòu)的意義所在.

2.加強例題、習題的補充，鞏固同構(gòu)概念的思想

現(xiàn)行的主要教材，在同構(gòu)這一部分撰寫得更像論文、專著，適宜專家、學者的閱讀與引用，而不適合教學，它們呈現(xiàn)同構(gòu)內(nèi)容的主要方式是，首先給出同構(gòu)的定義，其次介紹或證明定理，沒有例題，缺乏合適的、引申或拓展的例題、習題，讓學生感覺同構(gòu)這一節(jié)難學、不易理解就情有可原了.

純粹的理論教學只會讓大多數(shù)學生對數(shù)學望而止步，合適的例題和習題卻能使學生燃起濃厚興趣的火焰，在同構(gòu)概念教學中更為如此.同構(gòu)這個概念十分抽象，學生較難理解，沒有合適的例題和習題這一節(jié)只能是“過客”，老師要充分挖掘例題和習題這一材料，讓學生不僅弄懂同構(gòu)的概念，掌握性質(zhì)、定理，而且能夠靈活運用.

在講完同構(gòu)概念后，老師利用“數(shù)域F上任意兩個n維向量空間都同構(gòu)”這一結(jié)論，及時介紹并分析幾個相對簡單的同構(gòu)例子，比如：

（1）全體復數(shù)在實數(shù)域R上構(gòu)成的向量空間V與R2同構(gòu)；

（2）數(shù)域F上的向量空間F2×2與F4同構(gòu)；

（3）數(shù)域F上的向量空間F2[x]與F3同構(gòu).

并在此基礎(chǔ)上，拓展例題難度.

例1 求F3[t]中多項式組f1（t）=1+4t-2t2+t3，f2（t）=-1+9t-3t2+2t3，f3（t）=-5+6t+t3，f4（t）=5+7t-5t2+2t3的秩和一個極大無關(guān)組.

分析 此題直接用觀察法和定義法是很難得出結(jié)果的.可利用“數(shù)域F上n（n > 0）維向量空間V與V中向量關(guān)于同一基下的坐標構(gòu)成的向量空間F n同構(gòu)”這一性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)換到F n上來分析.

解 取F3[t]的基1，t，t2，t3，以f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）在這組基下的坐標為列向量構(gòu)造矩陣A，并做初等行變換，有

A=1-1-554967-2-30-512121-1-55012-100000000

可知 r（A）=2，且A的第1，2個列向量是A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組.根據(jù)同構(gòu)映射性質(zhì)，多項式組f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）的秩為2，且f1（t），f2（t）是一個極大線性無關(guān)組. 這樣的處理，比直接采用求秩和極大無關(guān)組的定義法簡單得多，體現(xiàn)出了同構(gòu)思想的魅力.

3.承上啟下，注重同構(gòu)在后續(xù)內(nèi)容中的運用

高等代數(shù)中，同構(gòu)理論起著承上啟下的作用，當我們完全理解了同構(gòu)理論，就會對前面的內(nèi)容有一個全新的理解，也會對后面的線性變換、二次型、歐氏空間等理論有一個比較清晰的、深刻的認識.

利用矩陣來解線性方程組的方法，深刻滲透著矩陣的思想方法，這種方法的理論依據(jù)是矩陣與線性方程組之間可以建立一一對應的同構(gòu)關(guān)系.具體來說，齊次線性方程組是通過其系數(shù)矩陣與矩陣建立一一對應的同構(gòu)關(guān)系；一般線性方程組是通過其增廣矩陣與矩陣建立一一對應的同構(gòu)關(guān)系.

二次型通過二次型的矩陣與對稱矩陣之間建立一一對應關(guān)系，同一個數(shù)域F上的所有二次型形成的向量空間與由所有對稱矩陣形成的線性向量是同構(gòu)的，二次型問題可以轉(zhuǎn)化成相應的對稱矩陣問題，如果相應的對稱問題可以解決，則原二次型問題就順利解決.因此，從某種意義上講，二次型即為對稱矩陣.

線性變換是高等代數(shù)中的一個重要組成部分，是建立在抽象的向量空間之上的.討論和研究線性變換問題是比較困難的事情，但有些時候，討論某些問題時，也常常把線性變換問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題來處理，這是因為作為數(shù)域F上的n維向量空間L（V）與Mn（F）是同構(gòu)的.

在歐氏空間中，通過基的度量矩陣，內(nèi)積與正定矩陣之間可以建立一一對應關(guān)系，同樣建立了同構(gòu)關(guān)系.歐氏空間的同構(gòu)映射具備歐氏空間作為向量空間的一切性質(zhì).

下面舉兩個例子說明同構(gòu)思想在同構(gòu)后續(xù)內(nèi)容中的運用，讓學生體會到同構(gòu)思想的理論高度和意義.

例2 求數(shù)域F上n維向量空間V的所有線性變換構(gòu)成的向量空間L（V）的維數(shù)和一組基.

分析 L（V）是數(shù)域F上n維抽象的向量空間，因為向量空間是抽象的，線性變換是抽象的，它們的基也是抽象的，要直接求出L（V）的維數(shù)和基是難以做到的.要解答本題目，首先必須把問題進行轉(zhuǎn)化，把抽象問題相對具體化，利用L（V）與Mn（F）同構(gòu)的思想來進行.

解 因為L（V）與Mn（F）同構(gòu)，所以

dim[L（V）]=dim[Mn（F）]=n×n=n2.

設(shè)α1，α2，…，αn是V的一組基，取Mn（F）的一組基E11，…，E1n，…，En1，…，Enn，并取δij∈L（V），使得

δij（α1，α2，…，αn）=（α1，α2，…，αn）Eij，i，j∈{1，2，…，n}，

即δij，i，j∈{1，2，…，n}為L（V）的一組基，dim[L（V）]=n2.

例3 設(shè){α1，α2，…，αn}是F上n維向量空間V的一個基.A是F上的n×s矩陣.令

（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）A.

證明：dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

分析 此題通常證法一般是按定義直接證明，即先證向量組{β1，β2，…，βn}與A的列向量組等價，從而它們具有相同的秩，進而推出dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.這種證法有一定難度且較煩瑣.我們知道，V與F n同構(gòu)，我們將運用同構(gòu)思想方法來證明.

證明 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn是β1，β2，…，βn在基{α1，α2，…，αn}下的坐標，顯然ξ1，ξ2，…，ξn∈Fn.由V與F n同構(gòu)可知，L（β1，β2，…，βn）與L（ξ1，ξ2，…，ξn）等價，從而

dimL（β1，β2，…，βn）=dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）.

注意到（ξ1，ξ2，…，ξn）=A，則dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）=r（A），故dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

以上例題由于采用了同構(gòu)的思想，其方法簡潔明了，讓人們進一步體會到了同構(gòu)思想的魅力和重要性.

三、結(jié)束語

同構(gòu)是高等代數(shù)中不易理解但又非常重要的概念，它貫穿整個高等代數(shù)所有主要內(nèi)容.在教學中我們要非常重視這個問題的教學，充分運用同構(gòu)工具，強化同構(gòu)思想，用其轉(zhuǎn)化高等代數(shù)中的難點，提高同構(gòu)概念教學的有效性，培養(yǎng)學生學習的熱情.

【參考文獻】

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]劉振宇.高等代數(shù)的思想與方法[M].濟南：山東大學出版社，2009.