高中立體幾何解題中遇到的困難及解決思路

黃睿

【摘要】作為高中生，立體幾何是我們必學的數學內容，但是由于我們邏輯思維能力和空間想象力較差，在實際解題時存在很多的困難，需要我們不斷改進解題思路，總結做題經驗，最終克服困難，提升自己的做題能力.本文主要介紹了高中立體幾何所學的基本內容和所具備的特點，分析了我們解題時經常遇到的困難和相應的解決思路.

【關鍵詞】高中；立體幾何；困難；解決思路

高中作為人一生中最主要的階段，是我們培養能力、為未來打基礎的關鍵時期，高中學習就是結合這一時期的特點，針對我們所需要培養的能力進行著重的加強訓練，從而增強我們適應社會的能力.而數學則是培養我們邏輯思維及靈活反應能力的關鍵學科，立體幾何是高中數學的重要組成部分，在進行相關內容的學習過程中我們遇到了很多的困難，不僅影響了我們的總體成績，還使我們喪失了自信，所以需要我們采取科學的方法，提高高中立體幾何的學習效率.

一、高中立體幾何

（一）高中立體幾何的基本學習內容

教育部通過了解我國目前高中數學教育的現狀及對學生所需能力的調查，編制了高中數學學習大綱，其中對立體幾何部分的要求做了明確的規定.經過老師的講解，我們意識到立體幾何的學習主要是為了培養我們的空間想象能力及邏輯推理能力，從而使我們更好地認識立體世界，增強我們對未知世界自主探索的興趣.在進行空間立體幾何的學習過程中，我了解到該部分主要學習三個方面的內容：首先，要弄清幾何語言，熟悉各種立體圖形及彼此之間的空間關系，并學會用幾何語言進行描述；其次，要完成從點到線，最后到面的過渡，分清平行、垂直等幾何特征及相應的判別方法，理解原理并在實際做題時靈活把握；最后要對完整的立體圖形進行掌握，把握空間向量及立體幾何，了解各幾何物體的特點及它們的組合模型，熟練應用斜二側法，學會計算立體圖形的體積及表面積等.

（二）高中立體幾何的特點

立體幾何作為高中數學的重要組成部分，擁有著獨特的特點，具體表現在以下幾點：第一，幾何主要研究空間立體形狀.在接觸立體幾何以前，我所熟悉的數學問題一般維持在二維坐標上，而幾何則是對二維的延伸，通過對系統理論的學習，增強我們對生活常見物體及現象的理解.第二，幾何是變與不變的統一.各個立體幾何，如：長方體、正方體等都具有一定的規律性，相互之間存在一些共性，而且幾何形狀都有一些不變的性質，但是，不同的形狀及組合方式所形成的立體圖形又具有不同的特點和性質，從而增強了立體幾何的多樣性.第三，立體幾何是直觀與抽象的統一.同其他學科的學習一樣，立體幾何也是來源于實際的生活，經過一定時間的研究和經驗積累而形成的系統的科學，所以幾何模型都來自于生活中常見的物體，因此具有一定的直觀性，但是，要將形狀脫離物體分離出來則需要抽象的概念，而且我們在實際做題的時候也主要對抽象思維進行考查，要求我們能夠發散思維，培養三維想象能力，全面培養對于立體幾何的解題能力，提高學習成績.

二、高中立體幾何解題中常見的困難

與其他數學內容相比，立體幾何部分要求我們具有較強的邏輯思維能力和空間現象力，所以我們大部分人在實際解題時普遍感到較為困難，具體表現在以下幾個方面：

（一）缺乏空間想象能力

立體幾何要求我們能夠根據平面已給的條件想象實際的立體形狀，從而獲取解題思維，沉穩答題.但是對于我們大多數人來說，空間想象能力較差，在實際解題的過程中不能及時發現隱藏的條件，而且空間幾何本身具有較為復雜的關系，這就更加大了我們解題的難度.例如：在解三視圖的題目時，對于一些簡單常見的三視圖我們比較熟悉，但是對于組合體的三視圖或者形狀稍微復雜的圖形，我們很難根據已有的平面形狀想象實際的三維物體，而且在空間立體圖形與平面尺寸的對應上也存在很大的困難，經常出現對應錯誤的現象.

（二）邏輯思維能力較差

在進行立體幾何的解題過程中，需要根據已知的條件來發現隱含的條件，從而根據已知來推測未知，逐步得到結論，尤其對于證明題來說更是如此，但是我們很多人都不能及時發現隱藏的條件，導致立體幾何部分是我們失分最多的知識點.多次的失敗促使我們形成了一定的心理暗示，認為立體幾何較為困難，從而在考試時將其放在最后，一方面由于最后解題的時間限制，另一方面加上緊張等心理作用，導致對于立體幾何的解題出現越來越大的困難.另外，由于我們對概念理解不透徹，在解題時分不清條件與結論，而且對于概念不能靈活應用，從而使實際答題時思維較為混亂，邏輯層次欠缺，甚至會出現符號應用不當的現象.例如：在證明線面垂直類的題目時，如果能夠做對輔助線，那剩下的工作已經相當簡單，只需按照步驟一步步地推出最終的結論即可.這就要求我們在平時多多積累經驗，總結各種類型輔助線的使用原則，從而在問題出現時有思路可想，但是我們大多數人都很難一下看出問題的關鍵并給出解題思路，導致解題時較為慌亂，成績較差.

（三）已有知識的負面影響

知識的累積是逐漸形成的，所以高中立體幾何的學習是在初中相關知識的基礎上做的進一步延伸，這就導致我們在進行高中立體幾何知識的學習中受以前學習內容和習慣的影響，即對于平面幾何的學習會干擾我們高中階段的學習.例如：在初中平面幾何證明垂直的題目中，問題已給的圖像就是垂直的關系，這就比較符合我們潛意識的認知，但是對于立體幾何的證明題來說，由于畫的是立體圖形，所以有些本該垂直的線看起來并不垂直，這就不符合我們自身的認識，證明起來也較為困難.另外，雖然高中知識是對初中知識的延伸，但是并不能直接套用原有的結論，尤其對于空間幾何來說，平面的結論應用到立體圖形中并不完全適用，而我們所形成的思維定式促使在解題時亂用平面結論，導致我們在高中學習時受已有知識體系的負面影響，對于新觀念的接受能力較差.

（四）平面知識與立體知識的結合能力較差

在進行立體問題的求解時，通常需要采取將立體問題轉化為平面問題的思想，從而根據熟悉的知識來求解不熟悉的問題，這就要求我們能夠熟練掌握數學思維和方法，借助類比和轉化來實現對未知問題的求解.但是我們在轉化方面的能力較差，無法將平面知識與立體幾何知識進行很好的結合，從而導致實際解題時無從下手，而且由于實際練習較少，思維發散能力較差，在遇到問題時一般只會往自己熟悉的公式上思考，很難對公式及概念進行靈活運用.例如：在進行立體圖形的表面積的求解時，我們一般都只會從整體出發，去計算全部的表面積，而忽略了復雜的形狀是由簡單的圖形組合而成的，可以將整體進行科學的分割，針對各部分按照平面概念進行計算，最后將各部分進行有效加減，從而簡化解題思路，更快地解決問題.

三、對于高中立體幾何解題常見困難的解決思路

立體幾何作為高中數學學習中常見的難題，如果不能對其進行有效解決，不僅影響我們的學習成績，長此以往還會打擊我們的自信心，所以我們應積極應對立體幾何帶給我們的困難，具體可以采取以下措施消除幾何解題帶給我們的影響：

（一）不斷增強我們的空間想象力

空間想象能力的提升不僅是我們解決數學問題的需要，對于我們實際的生活也具有十分重要的作用，所以我們應加強日常的鍛煉，不斷提升空間想象力.首先，我們要從最簡單的圖形開始，結合實際的物體，自己動手畫正方體、長方體等基本的形狀，在畫的過程中分析它們具有的性質；然后，將這些基本圖形進行簡單的組合，了解它們的組合原理及不同的組合圖所具備的特點，然后更改其中的一些參數，分析對實際形狀的影響；最后，與其他同學進行合作，相互考查，從而逐步增強自身的空間想象力，在實際解題時能夠根據已有的經驗積累來推斷隱含的條件，最終得出正確的答案.

（二）培養邏輯思維能力

邏輯思維能力是人解決問題、提高生活能力的必備技能，對于立體幾何問題的求解更是如此.要想培養縝密的思維，就需要我們加強對概念、公式等基本內容的理解和掌握，在平時，我們應加強總結，對于每種概念可能出現的問題進行分析，得到各種題型的解題思路，另外，對于一些較難接受的新概念，我們可以通過運用發散的方法加深理解，例如：在對線面垂直的概念進行記憶時，原定義是“如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，則說明這條直線與這個平面垂直”，而當我們在實際做題時對于“任意”的把握不夠，不知道具體要怎么證明線與任意的直線都垂直，所以可以采取發散的思想，將證明內容變為“當直線與平面內兩相交的直線都垂直時，則說明這條直線與該平面垂直”，通過這種證明方法可以將原先抽象的內容具體化，從而在實際做題時更加得心應手.

（三）消除負面知識的影響

為了消除初中已學平面幾何知識對高中立體幾何知識解題的影響，在平時我們應加強從已有知識到新知識點的過渡，通過舉出反例等方式來總結平面幾何與立體幾何的不同之處，在做題時著重注意相關方面的內容，從而避免已有知識的負面影響.例如：在對“三垂線定理”進行學習時，我們可以通過結合實物理解相關的向量所具有的關系，指出斜線的位置及相對應的射影的位置，觀察直線與射影的位置關系，從而形成清晰的思維模式，避免與平面的內容相混淆，而且在遇到類似的問題時就可以及時想到該定理，找到解題突破點，逐層分析，最終得出正確的結論.

（四）加強平面知識與立體知識的結合

立體幾何知識是對平面知識的延伸，所以兩者具有一定的共性，一般較為復雜的立體幾何內容都可以轉化為平面知識進行求解，所以我們在平時的學習中注意區分不同元素之間的位置關系，總結平面與立體之間的聯系，類比平面內容進行幾何知識的分析，不斷拓寬思路，總結經驗.另外，我們應加強幾何與實際生活的聯系，從平常的事物中找出與問題相關的共性，增強對平面的立體感，這樣才能更加準確地將立體圖形轉化為平面圖形，從而在解題時能不斷開拓思路，尋求最佳解決方案.

四、結 論

對于高中立體幾何的學習要求我們具有較強的邏輯思維能力和空間想象力，注意從已知條件中發現隱藏的條件，逐步進行推導、求解，最終得出正確的結果.但是由于我們學習能力不夠，在困難面前不能迎面直上，導致在進行立體幾何知識的求解時存在很大的困難.為了取得更好的成績，不斷突破自我，要求我們能養成樂于動腦的習慣，善于總結經驗，注意對思維的轉化，從而不斷提升我們解決立體幾何難題的能力.

【參考文獻】

[1]馬藹琳.高中生立體幾何學習障礙及對策的研究[D].上海：上海師范大學，2011.

[2]江士彥.芻議高中數學中的立體幾何解題技巧[J].讀與寫雜志，2015（11）：99-100.

[3]王玉娟.分析高中數學立體幾何的解題技巧[J].理科考試研究·數學版，2015（6）：6.

[4]王曉峰.高中立體幾何解題教學研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2013.

[5]劉曉菲.高中立體幾何解題困難及對策[D].煙臺：魯東大學，2015.