中學生的特點及數形結合思想教學的應用技巧

何霞

摘要：數形結合就是充分利用"形"的直觀性和"數"的準確性，充分理解題意，化抽象為直觀，培養學生思維的靈活性、廣闊性是初中數學中值得探索的方法。

關鍵詞：數形；結合；形成

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）11-0237-02

"數形結合"就是把抽象的"數"轉化為具體的"形"，通過解決具體的"形"而達到解決抽象的"數"，這種思想正符合初中生的心理特點，樂于被他們接受。因此，作為一項教學改革，需要我們教師在教學中加強這方面的訓練指導，也需要我們的中學生加強這方面的練習。中學階段，數形結合中的"形"是數軸、函數圖像、幾何圖形等組合表達式。"數"是指代數、三角形、平行四邊形等直觀標注。

1.數形結合數形能培養學生哪些方面的能力

數形結合就是充分利用"形"的直觀性和"數"的準確性，培養學生思維的靈活性、廣闊性是初中數學中值得探索的方法，那么學好數形結合究竟能提高學生哪些方面的能力呢？

1.1數形結合，培養解題思維的獨創性。思維的獨立創造性是指敢于超越傳統習慣的束縛，擺脫原有知識范圍和思維定勢的禁錮，善于把頭腦中已有的知識信息重新組織，產生具有進步意義的新設想和新發現。利用形的直觀性，探尋到具有創新意識的簡捷妙法，可避開繁瑣運算，簡捷解題，提高解題速度，達到培養思維的獨創性之目的。

1.2數形結合，培養解題思維的準確性。問題均可根據其題設與結論的特征通過觀察、聯想構造出相應的幾何模型，然后根據圖形的性質得到一種簡捷的解法。在解題過程中，準確是解題的關鍵。數形結合，可用利用"形"的直觀性提高"數"的準確性。

1.3數形結合，培養解題思維的廣闊性。思維的廣闊性是指思維活動中避開單一狹隘的思維模式，對所學知識融會貫通，多角度、全方位思考問題、解決問題的程度。思維越廣解決處理的方法越多。利用數形結合，用大樹知識解決幾何問題，或用幾何知識解決代數問題，避免以代數解代數，幾何解幾何的單一模式。數形結合解題就是根據數量的特征與圖形結構，使數與形相互轉化，開辟解題新途徑。

1.4數形結合，培養解題思維的靈活性。思維的靈活性是指思維活動具有較高的靈活程度，能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多側面的認識。數形結合思想引導學生多方位思考，審時度勢，適時突破常規的思維定勢，有利于培養解題思維的靈活性。

2.中學生怎樣去形成用數形結合思想解題的能力

在中學階段數形結合思想具體體現在用代數方法解決幾何問題或幾何方法解決代數問題。代數方法精確深刻，幾何方法形象直觀，兩者的結合開辟了新的解題思路，能促進學生數學思維的發展?，F在中學學生在代數中已經學過代數式、方程、函數，在幾何中已經學過點、線、三角形、四邊形、圓的知識，這兩種學科間聯系密切，是互相統一的。因此，我們必須重視數形結合的教學。

2.1加強學生對數形結合概念的理解。代數和幾何兩種學科間的聯系、兩種知識面的統一是隨著數軸、平面直角坐標系與函數的深入學習，才逐漸溝通與深化的。所以在這一段的教學中為使學生形成數形結合的統一意識，教師就要講清數軸、平面直角坐標系、函數圖像等的性質，應在知識領域理凸顯數形結合的思想方法。

2.2坐標系的建立為數形結合開拓了思路。數形結合的載體是數軸，數軸能反映出數與點的對應關系，這是學生學習數學的一大飛躍。運用數形結合的思想方法思考問題，能給抽象的數量關系以形象的幾何凸顯，也能把幾何圖形問題轉化為數量關系問題去解決。通過數形結合的數學思想方法來學習相反數、絕對值的定義、有理數大小比較的法則、函數等，可以大大降低學生這些知識的難度。數形結合思想的教學應貫穿于整個數學教學的是始終。

2.3注意培養學生用數形結合的數學方法分析問題、解決問題的能力。不論用代數方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究代數式，都貫穿著數形結合方法分析問題和解決問題的思想。因此教師應加強對學生的數形結合意識的滲透和能力的培養。我們可通過數量關系的討論來研究幾何圖形的性質，比如解析幾何這門學科就是建立在這種思想方法的基礎上，另一方面是利用幾何圖形的直觀性，揭示數量關系的許多特征，深刻理解這一觀點，有利于提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，提高學生的數學素養。如列一元一次方程解應用題的關鍵在于分析題中的數量關系，可以通過畫直線形（或圓形）示意圖直觀地顯示出來。一旦學生掌握了這種數形結合的分析方法，對較為復雜的習題就能獨立分析和解決了。

2.4善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系。觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數量關系，是認識、掌握數形結合的重要進程。

2.4.1正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數量關系.觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫出示意圖是不夠的，還必須反映出圖形中的數量關系。

2.4.2切實把握"數"與"形"的對應關系，以圖識性以性識圖。數形結合的核心是"數"與"形"的對應關系，熟知這些對應關系，深化兩者的聯系，才能把握住每一個研究對象在數量關系上的性質與相應圖形的特征之間的關聯，以求相輔相成，相互轉化。

2.4.3靈活運用"數"與"形"的轉化，提高思維的靈活性和創造性。在中學數學中，數形結合的思想和方法體現得最充分的是解析幾何，此外，函數與圖像之間，復數與幾何之間的相互轉化也充分體現了數形結合的思想和方法。通過聯想找到數與形之間的對于關系是實現轉化的先決條件，而強化這種轉化訓練的則是提高思維的靈活性和創造性的重要手段。

總之，在教學中教師應充分利用圖形、圖像，使學生正確理解和掌握所學的概念和知識，通過運用數形結合的思想方法實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀，深入淺出，巧妙的技巧應用，讓學生逐步理解數與形間的相互聯系與轉化的辯證。

3.實施數形結合思想教學時主要可分四個階段進行

第一階段是滲透孕育起期。由于學生剛升入中學，他們對數形結合的認識主要還停留在用線段圖解應用題這種簡單淺顯的層次，因此這一時期的要求不能太高，因以"數軸"、"相反數"、"絕對值"、"有理數是計算"等內容為載體，以數軸為結合點。在數學中提出數與形的問題，使學生感受到"數"與"形"間存在著相互聯系、相互轉化的辯證關系。并且通過問題的解決，察覺到數軸的作用。

第二階段是體會領悟期。代數以"不等式"的知識為載體繼續向學生介紹數形結合思想，使學生明白如果不借助"數軸"這個工具，就不容易找出不等式組的解集。由此而領悟到，數形結合對解決數學問題不是可有可無的，而是一種非常重要的辦法。

例1如圖1，已知∠AOB=90°，∠AOC為銳角，ON平分∠AOC， 平分∠COB，求∠MON的度數。

第三階段是形成嘗試期。以平面幾何知識為載體。由于知識深化"數"與"形"之間的因果關系不那么明顯，因此學生在解決問題時很難將"數"與"形"有效的結合進行思考。

①理解遷移。深刻理解數學知識中蘊含的數形結合思想，找出概念、定理、性質中"數"與"形"的特征。如勾股定理，代數的特征是一個數的平方等于兩個數的平方和.幾何的特征是這三個數是某直角三角形的三邊。解決相關問題時可以引導學生與已有的知識經驗"直角三角形——求線段長——解方程"產生關聯，找出解題途徑。

例2.如圖，P是長方形ABCD內一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD

分析：求線段的長度需要有直角三角形，但圖中沒有現成的直角三角形，故需添輔助線。

解： 如圖，過P作AD、AB的平行線，原矩形被分成四個小矩形；

由勾股定理得：

PA2 =a2+b2，PC2 =c2+d2；

PB2 =b2 +c2，PD2 =a2+d2；

因此：PA2+PC2=PB2+PD2，

即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18。

②提煉方法。作為第二層次的教學，應該引導學生從解決問題的技巧中提煉出蘊含數、形結合思想且又易于操作的辦法。進而理解這些辦法的實質。比如在一些問題的解決中，都用到從面積的角度去思考探索證明途徑。這一技巧其實質就是利用公式（方程的思想）為問題的解決鋪平道路。

例3.如圖3在等腰ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，P是底邊上任一點，求P到兩腰的距離的和。

解過P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，過B作BF⊥AC于F，連接AP，SΔABC=SΔAPB+SΔAPC，即

第四階段是應用發展期。這個階段主要以方程、函數和知識為載體，以解決問題為主要教學方式，突出數形結合思想在解題中的指導作用（見例12）。指導學生正確、迅速地找出問題中數形轉化的等價關系，展現由"數"思"形"，由"形"定"數"的思維過程。

例4（由"數"思"形"）解方程x-y=1____________（1）x+1+y-2=5_____（2）

分析方程（2）可變形為：（x+1）2-（y-2）2=（15）2______（3），顯然x+1>0，y-2>0。由于（3）與勾股定理形式類似，因此可構造（圖3）RtΔABC，使∠C=90°，并延長CA至D使AD=AB，CA=x+1，就把題中的數量關系轉化為圖中的幾何關系

由于"數形結合"具有形象直觀、易于接受的優點，它對于溝通知識間的聯系，活躍課堂氣氛，開闊學生的思路，發展學生的智能，提高學生的數學水平有著獨到的作用。這種教學方法能夠培養學生的創造思維能力和開拓精神，使學生充分張揚個性，充分發揮潛能，真正實現個體的最優化發展。

參考文獻：

[1]羅洪信。在初中數學中蘊藏著數形結合思想[M].桂林市教育學院學報，2001

[2]九年義務教育初中《數學教學大綱》[M].北京：人民教育出版社，2000

[3]九年義務教育初中數學課本[M].北京：人民教育出版社，2003