一道高考題探究出拋物線的若干性質

江蘇省蘇州第十中學 (215006)

項燕英

一道高考題探究出拋物線的若干性質

江蘇省蘇州第十中學 (215006)

項燕英

題目(2016年全國I卷文20) 在直角坐標系xOy中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H.

(Ⅱ)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.

答案(Ⅰ)2；(Ⅱ)沒有.

本題是一道中規中矩的拋物線題，題意清晰，簡潔明了，解題思路常規、運算量適中，但作為高考題，都是專家精心思考、反復斟酌形成的，看似平常無奇的問題所發揮的功能不可忽視，因此，每年高考結束，鉆研考題應是一線教師的必修課.拋物線作為唯一的無心二次曲線，探究引申往往限于自身，基于此，筆者對本題中點的位置、直線的位置、比值等多方面進行特殊到一般探究引申，得到拋物線一些性質，現整理如下，供讀者參考.

原題中主要條件是點P為線段MN的中點，結論有兩個： 點N為段OH的中點和MH為拋物線的切線，考慮到交換條件和結論的位置，有

性質1在直角坐標系xOy中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點P，延長MP至點N，連結ON并延長交C于點H.記①點P為線段MN的中點；②點N為線段OH中點；③MH為拋物線的切線，則命題①?②③，②?①③，③?①②均成立.

下面給出③?①②的證明：

圖1

原題中y軸是拋物線在頂點O處的切線，把點O位置一般化為拋物線上點Q，y軸變為拋物線在點Q處的切線，通過探究，有

圖2

性質2在直角坐標系xOy中，點Q為拋物線C: y2=2px(p>0)上的一點，直線l:y=t(t≠yQ)交點Q處的切線于點M，交拋物線C于點P，延長MP至點N，連結QN并延長交C于點H.記①點P為線段MN的中點；②點N為線段QH中點；③MH為拋物線的切線，則命題①?②③，②?①③，③?①②均成立.

下面僅給出①?②③的證明：

原題中y軸方程為x=0,若將其變為一般直線x=-a(a>0)，同時點O作為x軸上的點變為點F(a,0)，作為拋物線上的點變為點Q，通過探究，有

圖3

性質3在直角坐標系xOy中，點Q為拋物線C: y2=2px(p>0)上的一點，F(a,0)(a>0)，直線l:y=t(t≠yQ)交x=-a于點M，交拋物線C于點P，延長QF交拋物線C于點H，延長MP交線段QH于點N.若點P為線段MN的中點，則

(Ⅰ)點N為段線段QH中點；

(Ⅱ)直線MQ，MH均為拋物線的切線.

當λ≠1時，MH不為拋物線的切線.

按前面的探究方法，由性質1推廣到性質2，自然可由性質4推廣到：