基于學生核心素養發展的函數教學*
——以指數函數為例

☉江蘇省蘇州實驗中學 章祥俊

基于學生核心素養發展的函數教學*
——以指數函數為例

☉江蘇省蘇州實驗中學 章祥俊

數學核心素養是數學學習者在學習數學或學習數學某一領域時所應達成的綜合性能力，它是學生在數學學習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性的一種素養.《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出了數感、符號意識等10個核心詞，基于當下的理解，這些核心詞也可以理解為核心素養，而即將頒布的高中數學新課標則明確了數學核心素養的內容為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面.發展學生的核心素養是高中教學的主要任務，本文擬從指數函數為例談談在函數教學中如何實現這一目標，希望能給您帶來啟示.

一、創設適合問題情境，培養學生的抽象和建模能力

數學的學習就是教師提供問題情境，學生思考、交流、解決問題，這是一個培養學生的數學抽象和數學建模的過程.以指數函數教學為例，學生在知道了1.52.5、1.55.2、0.54.2這些“新”的數之后，教師提出問題：這些數的大小如何比較？這些數與我們的生活有什么關系？1.52.5、1.55.2這樣的數也可以像偶數可以統一表示為“2k，k∈Z”那樣表示為某種形式嗎？學生帶著這些問題，經過自己探索與其他同學的交流，總結歸納出形如y=1.5x的函數形式也就水到渠成了，這就是培養學生數學歸納、數學抽象的一個過程.教師繼續提出要求：請學生用數學語言給這種新函數下個定義.根據以往積累的學習經驗，學生依托于模型思想展開了數學思維活動，自主建構概念過程也就自然地展開了.通過這個描述與矯正的過程經歷，學生并不順利地抽象出了指數函數的定義，基于這一過程的知識與經驗積淀形成了給函數下定義的基本套路，為下一步對對數函數、冪函數等新函數的學習鋪平了道路.

二、經歷完整探究過程，發展學生的推理和想象能力

學生核心素養的發展，創設適合其認知需求的情境是起點，而讓他們經歷完整的探究過程，才是關鍵.在我們的教學活動中，教師應放手讓學生探究，讓他們經歷完整的數學思維活動過程，以期培養學生的邏輯推理能力和直觀想象能力.指數函數這一節內容的學習，最重要的不在于學生掌握指數函數的定義、性質等內容，而在于使學生掌握了研究函數的范式，學生按照教師的課堂設計感悟研究函數的一般流程：解讀背景——抽象定義——建構圖像——剖析性質——驗證應用.這樣的探究歷程使學生除了能獲取函數知識，還能發展邏輯推理能力和數學想象能力.在學生的指數函數學習過程中，當他們自主定義指數函數后，筆者進行了追問：如何畫出指數函數的圖像？這又讓學生經歷一個思維和優化的過程：y=ax（a＞0，a≠1） 的圖像——y=1.5x的圖像——y=2x，y=3x的圖像——y=ax（a＞0，a≠1）的圖像，這個從一般到特殊，再從特殊到一般的研究過程就是培養學生推理、建模能力的過程.如果上述研究過程是教師告知并指導學生，那么其學習過程是被動的，思維是膚淺的，探索、交流等活動是表面化的，將來遇到新的問題，學生依然會無從下手，再多的知識與能力都無法應用到問題的解決中去.因此，教學過程中，我們決不能將關注點只放在知識之上，而應引導學生自己尋找問題解決的方向，在摸索前行中獲得一般方法，通過自主概括、自主提煉、自主解答實現知難共進……這才是本節課的重中之重.課上，教師借助多媒體平臺動畫展示了y=2x，y=3x等指數函數的圖像，基于學生的仔細觀察之上教師提問：如何探究指數函數的性質？引導學生通過觀察、類比、聯想等探究活動，以期培養學生的歸納推理能力、直觀想象能力.學生在歸納出函數的部分性質后，教師提問：如何驗證或證明這些性質？比如驗證指數函數的圖像一定經過定點（1，0），這個過程是重要且必須的，它對培養學生的數據分析觀念、嚴謹的邏輯思維能力將產生持久甚至終生的影響.通過這些教學活動的設計，學生嘗試獲得“尋找”一般的科學研究方法，對其后續的學習與生活無疑是很有意義的.

三、強化基本性質理解，培養學生的運算能力和數據分析能力

基于上述完整探究過程的經歷，學生很快得到指數函數的定義、圖像及部分性質.接下來，教師讓學生探索：指數函數的圖像、性質有什么關系？指數函數y=ax（a＞0，a≠1）還有哪些未被發現的“神奇”性質？y=2x與y=x2的圖像、性質有什么關系？只要教師給學生充足的思考空間和時間，他們就一定會主動地、創造性地發現、思考、研究、發展數學，能使得數學的學習變“單回路學習”模式為“雙回路學習”模式.在此過程中，因為有了較為充裕的對性質的探索與理解的時間，學生可以從性質的簡單應用入手，進行運算推理，通過反復演算來證明自己的發現.這種基于性質之上的推理論證，很好地培養了學生的運算能力和數據分析能力，對達成數學核心素養發展的教學目標是非常有利的.所以，我們應通過恰當的教學活動設計，為學生的活動搭建較為合適的“平臺”，關鍵節點上不省事，讓學生在探索、交流、反思等活動中積累數學學習的經驗，提升分析處理能力.

四、傳承數學歷史文化，培養學生“人文與審美”的核心素養

北師大林崇德教授指出，我們的教育教學應“培養以數學與邏輯、人文與審美為核心素養的全面發展的人”.很久以來，我們總是自覺或不自覺地將充滿邏輯之美、理性之美、最具人文精神的數學文化的課堂教學指向了枯燥乏味的知識與解題.過分注重學生對數學知識的掌握，而數學教學中人的價值、情感、審美并沒有得到應有的尊重，承載著人文精神的數學教學高度工具化，培養能力、移情悅性、陶冶情操似乎只是一種遙遠的假設.所以說，培養學生對數學文化的理解，我們必須傳承數學所承載的人文精神，關注學生的道德理想、審美情感，培養他們悟善和審美的能力.數學史學家M·克萊因認為，數學文化是指人類在數學行為活動的過程中所創造的物質產品和精神產品.物質產品是指數學知識、數學語言等知識性成分，而精神產品是數學精神、數學美等觀念性成分.對此，筆者高度贊同，筆者認為數學教育不僅僅是知識的傳授與能力的培養，更是一種文化、精神的傳播，數學課堂中的探索、交流、反思應充分發掘數學文化內涵，對學生進行數學文化教育，發展學生應用意識，從而不斷激發學生的學習興趣，堅定學好數學的信心，幫助學生形成正確的數學觀.通過學習一次函數、二次函數等版塊的知識，學生在已經獲得了學習函數的一般方法，感受到了變量間美妙的聯系和圖像的曼妙靈動，進入高中后，適宜的情境將會激活學生對實數與指數形式的實數所對應的指數函數產生強烈的探索欲望：他們很想弄明白指數函數形成的背景，定義產生的過程，它對我們的數學生活將產生什么樣的影響，價值何在？指數函數的學習是初高中函數學習的紐帶，承上啟下，承上說得是對前面獲得函數知識與經驗的應用，啟下說得是指數函數的學習將會為后面研究對數函數、冪函數等提供知識、經驗、方法.所以，我們可以讓學生感受“指數式爆炸”帶來數的增大（或減小）速度，明白“半衰期”在醫藥、考古中重要的“模型應用”地位，感受到數學與生活是那么的親密無間.

數學課堂的活動設計，歸根結底是老師通過問題的提出激發學生探索新知的渴望，是老師和學生之間數學思想、數學精神、數學美的一種交流，是老師和學生對數學永不停息的思考，是數學素養“潤物細無聲”的傳承.每一節數學課堂中探索、交流、反思等活動經驗的積累，就是一個培養學生數學素養的過程.

1.馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題［J］.課程、教材、教法，2015（9）.

2.渠東劍.指數函數教學教什么［J］.數學通報，2012（3）.

3.［英］維克托·邁爾—舍恩伯格.與大數據同行［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

*本文為江蘇省教育科學 “十三五”規劃重點資助課題 “基于核心素養的普通高中學校課程優化統整的研究”（課題編號：2016-GH01011-00514）的研究成果，本文作者為該課題核心組成員.