探一題多解，究多題一解
——2017年高考全國卷解幾題解法探究

☉廣西百色祈福高級中學 陸逢波

探一題多解，究多題一解
——2017年高考全國卷解幾題解法探究

☉廣西百色祈福高級中學 陸逢波

一題多解是指同一個問題沿著不同途徑，運用不同的知識和方法去思考，以探求多種答案、尋找多種解法的思維方式.而多題一解則恰好相反，是針對不同的問題在解決問題的過程中用到了同樣的方法的思維方式.高考試題是命題專家精心雕琢的經典“作品”，它源于教材，又高于教材，體現命題者的命題思路、難度和考試方向，是高考復習的最好訓練素材.中學數學課堂教學中引導學生對高考真題進行一題多解、多題一解的探究活動，有利于激發學生學習興趣；有利于培養學生的發散性思維和集中性思維、培養學生的數學核心素養；有利于加強學生對知識的理解、深化和方法的掌握，從而提高高考復習的效益.本文以2017年高考全國課標卷理科解析幾何試題為例，探究一題多解及多題一解在高考中的應用，供讀者參考.

一、一題多解探究

例1（2017年全國課標卷Ⅰ理科第10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

分析1：由拋物線定義知，|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p，再用“基本不等式”求最值.

解法1：設直線l1方程為y=k1（x-1），

同理，直線l2與拋物線的交點滿足

當且僅當k1=-k2=1（或-1）時，取得等號.

分析2：利用對稱性，當A與D，B與E關于x軸對稱時，|AB|+|DE|最小.

解法2：直線l1，l2互相垂直，l1與C交于A、B兩點，l2與C交于D、E兩點，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B與E關于x軸對稱，設DE的斜率為1，直線l2的方程為y=x-1，聯立方程組則y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，

所以|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16.

分析3：利用參數法，把A、B的坐標用參數表示出來，用兩點間距離公式表示|AB|、|DE|，再用“基本不等式”求最值.

解法3：設l1∶x=my+1代入直線方程得

因為l1⊥l2，上式m用替換得

當且僅當m=±1時，取等號，故選A.

分析4：利用焦點弦長公式，快速求解.

解法4：設直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為根據焦點弦長公式可得

因為0＜sin22θ≤1，所以當θ=45°時，|AB|+|DE|的值最小，最小值為16.

例2（2017年全國卷Ⅲ理科第12題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則λ+μ的最大值為（ ）.

分析1：利用坐標法，把λ+μ用P點坐標表示，令-y+1，轉化為圓心到直線距離小于半徑，求出最值.

解法1：以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標系，則A（0，1），B（0，0），D（2，1），P（x，y）.

分析2：利用坐標法，把λ+μ表示為三角函數，轉化為三角問題，求出最值.

解法2：以A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），可得直線BD的方程為2x+y-2=0.

二、多題一解探究

2017年全國高考課標卷3套理科試題中的三道解析幾何大題，考查的內容、角度不盡相同，涉及直線、圓、橢圓相關的軌跡問題和直線過定點問題，但這3道題均可以統一用一種數學思想方法——參數法解答.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解：（1）由于兩點關于y軸對稱，所以由題設知C經過P3、P4兩點，又P（11，1），不可能同時在橢圓上，因此可得橢圓經過點.代入橢圓方程得a=2，b=1，所以所求的橢圓方程為

（2）直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，當直線l的斜率不存在時，設A，B的坐標分別為A（2cosθ，sinθ），B（2cosθ，-sinθ），

則直線l的方程為x=2，不合題意.

所以直線l的方程為y=k（x-2）-1.綜合上述，直線過定點（2，-1）.

例4（2017年全國卷Ⅱ理科第20題）設O為坐標原點，動點M在橢圓上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足

（1） 求點P的軌跡方程；

所以點的軌跡方程x2+y2=2.

設橢圓左焦點F（-1，0），

所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

例5（2017年全國卷Ⅲ理科第20題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點O在圓M上；

（2）設圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

將拋物線方程代入直線方程，得t2-mt-1=0.

根據韋達定理得t1+t2=m，t1t2=-1.

所以OA⊥OB，即原點O在圓M上.

（2）由于圓M過點P（4，-2），因此AP⊥BP.

設AP與BP的斜率分別為k1，k2，則

當m=1時，M（3，1），半徑OM=%1 0，圓M的方程為

1.陸逢波.回歸原點 以退為進——一道高考解幾題的化歸探究［J］.都市家教，2017（17）.

2.陸逢波.一道2017年高考試題的解法探究與拓展［J］.中學數學教學參考（下旬），2017（11）.