探究式方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的應(yīng)用
——以一道高考復(fù)習(xí)題為例

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 易宇丹

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 戴炎陶

探究式方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的應(yīng)用
——以一道高考復(fù)習(xí)題為例

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 易宇丹

☉華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 戴炎陶

做練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié)，但我們面臨著海量的習(xí)題，如何通過(guò)做一些典型的習(xí)題達(dá)到快速掌握所學(xué)知識(shí)的目的呢？我們可以對(duì)典型問(wèn)題展開(kāi)深入分析，歸納總結(jié)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中起到事半功倍的效果.筆者認(rèn)為多對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究和總結(jié)是一條行之有效的方法.本文以作者曾經(jīng)做過(guò)的一道高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題為例，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究性學(xué)習(xí)方式.

一、試題再現(xiàn)

題目設(shè)函數(shù)f（x）=（1-mx）ln（1+x）.

（1）若當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=x的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

這是某地2017年高中畢業(yè)年級(jí)的一次考試題，在標(biāo)準(zhǔn)答案中是通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后就三種情況分別進(jìn)行討論再給出問(wèn)題的解.不少同學(xué)反映其解題思路顯得有些突兀，理解起來(lái)不太容易.為此，本文從問(wèn)題探究的角度來(lái)分析該題的求解思路.

二、思路剖析

此題第（1）問(wèn)可從條件入手，不難構(gòu)造函數(shù)F（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)引申的問(wèn)題：

問(wèn)題1：在0＜x＜1的條件下，求F（x）＞0恒成立時(shí)的取值范圍.

對(duì)于所構(gòu)造的函數(shù)F（x）也容易探究出F（0）=0，鑒于問(wèn)題1實(shí)質(zhì)上是關(guān)于函數(shù)F（x）在所給定義區(qū)間上非負(fù)性求解問(wèn)題，因此，自然會(huì)考慮通過(guò)函數(shù)的極值點(diǎn)或單調(diào)性來(lái)求解問(wèn)題，這就自然聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的方法.

問(wèn)題2：所構(gòu)造的函數(shù)F（x）在0＜x＜1上單調(diào)性如何？

如果函數(shù)在給定的定義域上具有單調(diào)遞增的特征，則結(jié)論就成立.因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的性態(tài)不清晰，無(wú)法直接判斷其符號(hào)，因此進(jìn)一步對(duì)其求導(dǎo)，得到

由于本題的解題重點(diǎn)是要確定F（x）的單調(diào)性，但函數(shù)F′（x）的符號(hào)變化特征不易確定，因此才進(jìn)一步通過(guò)求導(dǎo)的方式得到G（x），從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探究G（x）的符號(hào)變化特征這一問(wèn)題，但G（x）的符號(hào)實(shí)際上由函數(shù)g（x）=mx+2m+1確定的，所以問(wèn)題2轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄亢瘮?shù)g（x）的正負(fù)問(wèn)題.

情形1：顯然，當(dāng)m≥0時(shí)，由于x∈（0，1），所以，g（x）＞0，G（x）＜0，即函數(shù)F′（x）單調(diào)遞減，并且由于F′（0）=0，故在x∈（0，1）上F′（x）＜F′（0）=0，進(jìn)而得出結(jié)論F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，從而有F（x）＜F（0），這與問(wèn)題1所尋求的條件矛盾.

結(jié)論：?jiǎn)栴}1的求解范圍需要在m＜0的區(qū)間中尋找答案

情形2：在m＜0的條件下，進(jìn)一步分析函數(shù)g（x）=mx+2m+1的零點(diǎn).特別地，當(dāng)時(shí)（此時(shí)x=0），0在x∈（0，1）上，G（x）＞0，F(xiàn)（′x）單調(diào)遞增，并且由于F（′0）=0，故此在x∈（0，1）上F（′x）＞F（′0）=0，進(jìn)而得出結(jié)論F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，從而有F（x）＞F（0）=0，此時(shí)問(wèn)題1尋求的條件滿(mǎn)足.

結(jié)論：滿(mǎn)足問(wèn)題1所尋求的條件.情形3：接下來(lái)進(jìn)一步探究的情況，由于g（x）=mx+2m+1的圖像是一條直線，并且斜率為負(fù)，當(dāng)x＜x0時(shí)，g（x）＞0，從而G（x）＜0，F(xiàn)′（x）單調(diào)遞減，并且由于F（′0）=0，故在x∈（0，1）上F（′x）＜F（′0）=0，進(jìn)而得出結(jié)論F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，從而有F（x）＞F（0）=0，這與問(wèn)題1所尋求的條件矛盾.但實(shí)際上x(chóng)0不一定在定義（0，1）區(qū)間內(nèi)），故只需定義x′=min｛1，x｝，當(dāng)00x∈（0，x0′）時(shí)，g（x）＞0，從而上述結(jié)論依然成立

綜合上述三種討論的情況，可以得出第（1）問(wèn)所要求的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

三、問(wèn)題拓展

通過(guò)前一節(jié)三種情況的討論與探究分析，從中進(jìn)一步可以拓展出幾個(gè)相關(guān)問(wèn)題.

拓展1：實(shí)際上，對(duì)于本題的第（2）問(wèn)，可以通過(guò)變形得到一個(gè)更加一般的不等式問(wèn)題：拓展2：可以進(jìn)一步考慮情形2中的特例，如

拓展3：結(jié)合拓展1和拓展2的結(jié)論，也可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論：這個(gè)結(jié)論實(shí)際給出了對(duì)無(wú)理數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)值.不限于這種形式，對(duì)于這種形式，結(jié)論依然成立.

通過(guò)這種探究式求解，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題就可以達(dá)到舉一反三的目的，對(duì)于與此類(lèi)似的問(wèn)題求解起來(lái)就比較簡(jiǎn)單了.

四、歸納點(diǎn)評(píng)

本題本質(zhì)上是一道函數(shù)與不等式的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題探究求解，實(shí)質(zhì)上命題人的意圖是要考查函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性）、基本初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，以及通過(guò)求導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性、利用函數(shù)的某些特征證明一類(lèi)不等式等知識(shí)點(diǎn).

在實(shí)際求解過(guò)程中，利用條件通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行問(wèn)題探究，不斷將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)子問(wèn)題，從而逐步尋找到解決問(wèn)題的方案.這種將原問(wèn)題不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化為更容易求解的新問(wèn)題也是數(shù)學(xué)問(wèn)題求解常見(jiàn)的手段，探究式思考問(wèn)題的方式對(duì)于培養(yǎng)我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力很有裨益，也是將方法教給學(xué)生的實(shí)踐體現(xiàn).