小議高中數學教學中的輕與重

☉江蘇省江陰高級中學 王小冬

小議高中數學教學中的輕與重

☉江蘇省江陰高級中學 王小冬

中學數學教學是所有學科的重中之重，是中學教育的基礎學科，其對于各種專業知識有著深遠的影響.與高等數學學習不同的是，中學數學教育在難度、訓練量上都遠遠沒有這么復雜、困難，但是其內容涵蓋面卻一點也不少.考慮到中學生的學情現狀，對于中學生數學學習教師要有合適的方式，注重教學的精準度，做到孰輕孰重，精準教學.

大量的調查研究表明，中學生數學學習有著較大的困難，這與其自身的學習能力有關.因此中學數學教學也有著正確的教學導向，即教學的精準性.從筆者教學實踐來思考，至少有三方面的指向引導教師教學需要注重輕重緩急：第一，概念教學和解題教學，對于中學數學教學來說，教師要深刻理解數學概念教學遠遠比數學解題教學來得重要，這與高等數學教學完全不同，因為中學生自身數學學習能力以及尚未歷經高考這樣的超級選拔性考試，因此會解題比理解概念來得次要一些，我們的教學更要注重概念的形成和思考；第二，教學深度和教學廣度，中學數學教學不需要在教學深度上過于深入，但在知識的廣度上卻要求注重發散、拓展，這有助于中學生思維的開展和開發，提升其更好的思路和想法；第三，解題技巧和數學思想，對于中學數學教學來說，解題技巧相對來說并不是最主要的，而學生頭腦中蘊含的數學思想才是教學需要時刻關注和滲透的.本文從三方面的案例出發，與讀者一起探討中學數學教學中的輕重之分，為后續教學做好導向作用.

一、重概念教學，輕解題教學

從教學實踐來看，中學數學教學如果要在概念教學和解題教學中選一個更為重要的點，筆者認為是概念教學.并非說解題教學不重要，只是跟概念教學相比，筆者始終堅持認為概念教學是中學數學教學的核心.眾所周知，數學概念是知識去除物理背景、載體后的本質化體現，將概念教學教的深入學生心間，才是教學成功的標志之一.

概念：直線和圓錐曲線位置關系教學中的一個公共點問題.

師：直線和圓錐曲線有一個公共點怎么定義？

分析：其實很多學生對于這一概念是不理解的.因為受到初中切線概念的負遷移，其始終認為一個公共點問題就是相切問題，這從概念起步階段就已經錯了.怎么與學生介紹直線和圓錐曲線有一個公共點的問題不完全是相切問題呢？筆者建議從學生學過的三角函數下手，可以直接描述這兩種關系是既不充分也不必要的.

舉例1：三角函數與直線相切，它們有多少個公共點？

生：無數個！

師：說明什么？

生：說明相切未必僅有一個公共點，與我們以前的認知是不一樣的.

舉例2：能否指出與拋物線y=x2僅有一個公共點的直線，但又不是切線？

生：有，拋物線的對稱軸y軸.

師：是的.顯然拋物線對稱軸與拋物線只有一個公共點，但其顯然不是拋物線的切線.因此一個公共點也不一定是切線.

意圖：通過上述兩個舉例，使得學生明白一個公共點和相切問題并無直接關聯.進而通過具體舉例使得學生理解這一直線和圓錐曲線位置關系中的概念.

分析：設直線斜率為k，則直線方程為y-2=k（x-2），聯立橢圓方程，得

消去y整理得（4k2+1）x2+16k（1-k）x+（16k2-32k+12）=0，令Δ=0，得，所以直線l的方程為

舉例4：求過點（2，2），且與雙曲線x2-y2=1有一個公共點的直線方程.

分析：不難發現，由于該點位置的特殊性，其位于其中一條漸進線上，從圖像角度思考也能發現應該有三條，可以從具體代數的角度進一步思考，有興趣的讀者可以進行驗證.

從概念教學的角度出發，筆者對于這一問題在中學生中進行過嘗試，這里筆者并未要求學生對問題進行不斷的求解、解題，而是以通俗易懂的方式，讓學生知道為什么一個公共點與相切問題并無直接聯系，從而獲得了教學輕重之分，體現了教學的高效性.

二、重教學廣度，輕教學深度

與高等數學教學不同的是，中學數學教學并不需要在深度上過于苛刻，但在教學的廣度上卻不可謂不廣一些.知識的廣度、理解程度從中學生學習數學的角度來說，廣度比深度來得更為重要.以解三角形為例，其實其所涉及的知識主要是正余弦定理，因此對于其知識所涉及的廣度上需要作出合理的設計，而不是在三角公式的難度、技巧上不斷挖掘，失去考查基本知識的意義.

問題1：在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

解析：由（1）知.因為，所以，

分析：本題是簡單的解三角形問題，對于公式基本運用也屬于基本層面，屬于學生基本掌握類型.如何提升本問題的廣度呢？筆者建議與其他相關知識緊密結合，體現學習的廣度，而不是在三角公式深度的挖掘上做出大量的、煩瑣的設計，以便有助于中學生知識學習的綜合性體驗.

分析：對于變式1，由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當且僅當a=c時等號成立.

變式2：若b=2，求a2+c2的最大值.

分析：對于變式2，同樣有，即得a2+c2≤24，當且僅當a=c時等號成立.

變式4：若，求△ABC的面積的最大值.

分析：對于變式4，由三角形的面積公式，結合B=，可以得到.要求三角形面積的最大值，只需轉化為求ac的最大值即可.而ac的最值則可以通過變式2的過程得到.略解解三角形中正余弦定理與不等式的結合、與面積公式的結合、與三角公式的結合，足以體現知識廣度的運用，對于中學生而言，這些基本知識不斷的整合，恰恰是我們教學的重中之重，而對于三角公式本身，不必在于深度上講求變形技巧等，反而失去了教學的核心.

三、重思想方法，輕數學技巧

對于中學生而言，數學技巧傳授的多并非是好事，甚至可以說嚴重阻礙了學生數學學習的興趣.筆者認為，中學數學教學應該在思想方法的傳授上多滲透一些，反而有利于啟發中學生的數學思維.限于篇幅簡單舉一個問題：

問題2：函數f（x）的定義域為［-1，1］，則函數f（2x-1）的定義域為_________.

分析：本題對于中學生來說，不可謂不難.但是如何指導中學生解這樣的問題呢？筆者建議運用數學思想：本題中是特殊化的數學思想.可以思考函數（fx）的定義域為［-1，1］，不妨記即可，顯然函數，其定義域也自然而然可以求解.所以說，有思想才是問題解決的更為高端的武器，而不要過于拘泥于解題的技巧.

特殊化是解題的一種常用思想，而且對于中學生而言，特殊化的思想是極為有用的數學思想.中學數學中不少抽象性問題的本源都是依賴具體模型編制的，筆者認為要引導學生思考這些問題背后的本質，可以結合學生自身特點，進行特殊化思想的教學滲透，只有不斷的滲透才會有學生深刻的理解.

本文從三個教學實踐的方面闡述了高中數學教學中需要關注的輕與重，顯然還有諸多方面限于篇幅未能涉及，有興趣的讀者可以再思考，我們是不是過于注重了一些不該過分注重的，而舍棄了另一些該注重的？常常有這樣的思考，才會使我們的專業化成長來得更為飛快.

總之，對于中學生數學教學需要側重其自身特點實施，需要重視符合學生學情的，輕難以實現的，這才是有的放矢的教學.最后筆者要說，這里所說的輕重也僅僅是相對的，更應該根據任教學情做出合適的選擇.

1.楊建輝.新課程標準下教師教學設計中應具備的幾種意識［J］.數學通報，2011（2）.

2.何宗羅.整體凸顯 結構優化 問題引領［J］.教學月刊，2012（4）.

3.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月刊，2013（5）