2017年國內外六道不等式競賽試題探析

☉廣西恭城縣恭城中學 韋興洲

2017年國內外六道不等式競賽試題探析

☉廣西恭城縣恭城中學 韋興洲

2017年國內外高中數學競賽陸續收官，不等式試題精彩紛呈，筆者摘取其中6道試題進行思考，有所收獲.

題目1（2017年北京大學夏令營數學試題）求證：在△ABC中，cosA+cosB+cosC＞1.

證法1：在△ABC中，由A+B+C=π，得cosC=cos［π-所以，結合］上單調遞減，得.利用三角函數的和差化積公式得cosA+

證法3：不妨設0＜A≤B≤C＜π.

綜合（1）（2）（3），命題得證.

評注：在△ABC中，當A→0時，B+C→π，進而cosA+cosB+cosC→1.題目1與1965年民主德國的一道數學競賽題相呼應，該題為：在△ABC中，求證：cosA+cosB+cosC≤，并說明何時等號成立.

題目2（2017年北京大學夏令營數學試題）已知a，，求證：

證明：由a，b，c＞0，abc=12，得. 而，從而原不等式成立.當且僅當時等號成立.

題目3（2017年塞浦路斯數學奧林匹克試題）已知x，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，求證

證明：令，則.結合x，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，得a，b，c＞0，且另一方面：從而原不等式成立.當且僅當即時等號成立.

題目4（2017年伊朗數學奧林匹克試題）若兩個正實數x，y滿足x4-y4=x-y，求證：

證法1：顯然x2≠y2，結合平方差公式、立方差公式及得而，即（*）式成立，從而目標不等式成立.

證法2：顯然x2≠y2，令x+y=t，結合x4-y4=x-y?（x2+y2）（x+y）=1，得由，得0＜t3＜2.另一方面：由0＜t3＜2得（**）式成立，從而目標不等式成立.

評注：在證法1中，由于x2≠y2，故的等號無法取到，在證法2中，由x2≠y2推出0＜t3＜2，故（t3-1）2≤1中的等號無法取到，而且證明過程中并沒有用到x，y都是正實數這一條件，故結論加強為：若兩實數x，y滿足則.根據證明過程可得，當且

題目5（2017年基輔數學節試題）若實數x，y滿足x2≥y，y2≥x，求證

證明：（1）當x≤0時，同理可證：當y≤0時即當x≤0或y≤0時，

先研究y2≥x≥y≥1時的情形.當y=1時，得x=1，此時

當y2≥x≥y＞1時，構造函數則則＞0，即g（x）在［y，y2］上單調遞增，結合g（y）=（1-y2）（y2+1）＜0且g（y2）=y8-2y5+2y4-2y3+1=（y-1）（2y6+2y5+3y4+2y3+3y2+2y+1）＞0，從而x0∈［y，y2］，使得g（x0）=0.所以（fx）在［y，x0］上單調遞減，在［x0，y2］上單調遞增，則（fx）的最大值為（fy）與（fy2）中的較大者.而當y2≥x≥y＞1時1，且.所以當y2≥x≥y≥1時，（fx）≤1.同理可證，當x2≥y≥x≥1時，

評注：由g（x）在［y，y2］上單調遞增，可得f（x）在［y，y2］上單調遞增或先減后增，進而f（x）的最大值在x=y或x=y2處取得.另外，可以平移證明過程獲得結論.題目5和題目6都體現了從函數的視角探究不等式，繁中有簡，樸素自然.

題目6（2017年羅馬尼亞數學奧林匹克試題）若n∈N*，求證

評注：遷移證明方法并注意到函數的奇偶性可得下列結論.

對n∈N*，x∈［0，π］恒成立.取

（1）sinmx≥msinx對m∈（0，1］，x∈［0，π］恒成立.

（2）sinmx≤msinx對m∈（0，1］，x∈［-π，0］恒成立.

解析上述試題過程中，應用了柯西不等式、權方和不等式、構造函數，以及凹凸函數的性質產生的搭橋法，有一題多解，有結論推廣，得以管窺2017年高中數學競賽不等式試題之部分特點.筆者水平有限，在此拋磚引玉，請同行指導.