以三角函數為載體的綜合題型探究
——以2015年北京高考題為例

☉江蘇省灌云高級中學 施建波

以三角函數為載體的綜合題型探究
——以2015年北京高考題為例

☉江蘇省灌云高級中學 施建波

以三角函數為背景的綜合題型是高考考查的新趨勢，高考命題在三角函數性質的基礎上，進行知識的綜合變式.利用三角函數的特殊性可以簡化問題，在對定義域及值域的分析中可以對復合性問題進行定性分析，對學生的綜合能力要求較強，這也是今后教學的重點.

一、真題再現

試題（2015年高考數學北京卷）已知函數f（x）=xcosx-sinx

二、試題點撥及評析

1.思路點撥

（1）證明f（x）＜0，則是證明函數的最小值小于等于0，利用導數的性質即可判定.

2.參考答案

當c≤0時，g（x）=sinx-cx＞0，恒成立.

當c≥1時，g′（x）=cosx-c＜0，此時有g（x）=sinx-cx＞0在上是單調遞減的，所以g（x）＜g（0）=0，則有g（x）=sinx-cx＜0恒成立.

3.試題評析

本題目是一道典型的結合導數考查三角函數的綜合題，除需要熟練使用導數運算之外，還需要充分地利用三角函數的基本性質.對三角函數單調性和奇偶性的判斷是解題的基礎，分類討論是解此類題的主要方法.三角函數是中學的基礎知識，對學生的基礎運算能力和綜合推理能力要求較高.合理地在掌握三角函數的基礎上與其他知識進行綜合是高考對三角函數內容的考查要求.

三、試題變式與拓展

三角函數在高考題和模擬考題中出現的概率很高，考查的知識點也比較綜合，下面我們對兩道相似的題型進行賞析.

（2）現給出如下3個結論，請分別判斷其正確性，并說明理由.

成立；

（1）求函數f（x）的最小周期和它的最小值；

上述兩題都是對三角函數的考查，求解三角函數題型都必須準確地把握函數的定義域和單調性，在此基礎上對函數進行值域的分析，結合導數的特殊性有助于對函數的單調性進行研究，對于證明題，則可以對結論進行適當的縮放和變形，在三角函數性質的基礎上進行求解.

四、教學反思

1.結合教材，對接高考

筆者對歷年高考題的研讀發現，高考的命題來源于教材，注重基礎知識，即使是綜合題也是基礎知識的結合.教材是教學的根本，也是思想方法培養的載體，高考中題型難度較大的考題也是對基礎知識的組合、拓展，然后賦予了新穎的數學背景.高考題是最具有代表性、最為嚴謹的考題，每道題都經過了命題組的反復推敲和檢驗，對于師生教學和學習具有極大的幫助.復習中將高考題和課本教材進行結合使用，可以引導學生發展變式思維，在不變的基礎知識上進行知識的重整和拓展，為高中的復習增添新的活力，也可以提升教師的教學水平.

2.能力優先，強調綜合

高考是一次選拔性的考試，在注重基礎的前提下也注意對學生綜合能力的考查，本題目就考查了三角函數的基本性質以及函數求導的值域判斷，綜合能力較強，可以真正的檢驗學生的真實水平，解題的關鍵是從基礎入手，從簡單的變形到復雜的推理運算，符合學生的思維變式.三角函數問題有基礎知識的考查，也有綜合知識點分析問題的考查，如果學生沒有扎實的基礎則會很難推進，教學中也是一致的，必須注重學生基礎知識的學習，在扎實的基礎下開展綜合能力的培養，引導學生從簡單問題中探究基本概念和規律，然后進行重點知識綜合拓展，穩步提升學生的能力水平.

3.強化研究，發展變式

中學知識學習的目的是為了使學生的思維更加活躍，培養自我探究能力，在興趣培養中提升整體素質，教師在這個過程中是為了更好的啟發、引導學生，學習的主體還是學生.教學中要強調研究性，而不是簡單地向學生灌輸知識，以三角函數為例，在對基礎知識講授后，可以進行多設問，定義域發生了變化導致函數的圖像又會如何變化.根據已知的條件，讓學生去探究未知的發展，沒有思維定式的教學才是好的教學方式，這樣既可以加深學生對知識的理解，也可以在延伸拓展中獲得新知.

五、總結

三角函數問題是中學的基礎知識，也是研究復雜問題的工具，與其他知識點的結合考查是高考考查的趨勢，解決此類問題需要老師在教學過程中聯系高考真題，回歸教材，注重基礎，然后在此基礎上進行延伸拓展.

1.蔡罡.把握題目特征思路順利生成——以三角函數問題為例說明［J］.中學數學（上），2015（9）.

2.劉國祥，張敏.對2016年江蘇高考壓軸題的探究、溯源與啟示［J］.中學數學（上），2016（9）.

3.葛小萍.三角函數背景下導數命題賞析［J］.中學數學（上），2016（10）.

4.周婷婷.反思一道“三角函數綜合應用題”的典型錯解［J］.數學教學通訊，2016（6）.

5.鞏松.高中數學教學中學生思維廣度與深度思考——以“正弦函數的性質與圖象”的教學為例［J］.數學教學通訊，2016（18）.F