例談構(gòu)造輔助函數(shù)求條件最值

☉廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué) 賀 朗 伍毅東

例談構(gòu)造輔助函數(shù)求條件最值

☉廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué) 賀 朗 伍毅東

多元函數(shù)的條件最值問(wèn)題在中學(xué)沒(méi)有系統(tǒng)講述，但卻是高考和競(jìng)賽的一個(gè)重要題型.本文試圖通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求多元函數(shù)條件最值問(wèn)題的解題思路.

例1 已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2=8，求證：x+y≤4.

證明：令f（x，y）=x+y，φ（x，y）=8-x2-y2，本題為求函數(shù)f（x，y）在條件φ（x，y）=0下的最大值.為此，作輔助函數(shù)F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）=x+y+λ（8-x2-y2），這里λ是待定參數(shù).固定y＞0，在F（x，y）中對(duì)變量x求導(dǎo)，記為F′x（x，y），類(lèi)似理解記號(hào)F′y（x，y），則F′x（x，y）=1-2λx，F(xiàn)′y（x，y）=1-2λy.令F′x（x，y）=0，F(xiàn)′y（x，y）=0.

因此，對(duì)任意固定的y＞0，F(xiàn)（x，y）在x=2處取得最大值.

類(lèi)似地，對(duì)任意固定的x＞0，F(xiàn)（x，y）在y=2處取得最大值.因此，函數(shù)F（x，y）在x=y=2處取得最大值4.那么，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，F(xiàn)（x，y）≤4.當(dāng)x2+y2=8時(shí)，F(xiàn)（x，y）=f（x，y）=x+y≤4.

評(píng)注：求f（x，y）在條件φ（x，y）=0下的最值，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y）.若求得F（x，y）的最值，則在條件φ（x，y）=0下也就求出了f（x，y）的最值；而參數(shù)λ的作用是使得方程組（1）中的三個(gè)等式都成立的x，y存在，從而找出F（x，y）的最值點(diǎn).

例2 （1976年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)正數(shù)a1，a2，…，an之和s，n≥2，求證

對(duì)任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，當(dāng)時(shí)，，則F（a1，…，an）關(guān)于ai單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，F(xiàn)ai′（a1，…，an）＞0，則F（a1，…，an）關(guān)于ai單調(diào)遞增.

因此，對(duì)任意固定的a1，…，ai-1，ai+1，…，an，函數(shù)F（a1，…，an）在取得最小值，這里i=1，2，…，n.由此得函數(shù)在a1=…=處取得最小值

故當(dāng)a1+…+an=s時(shí)

例3 （《數(shù)學(xué)通報(bào)》問(wèn)題1625）設(shè)正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足4x+3y+5z=1，求的最小值.

解：由于4x+3y+5z=（x+y）+2（y+z）+3（z+x），可令a1=1-a1-2a2-3a3，這里a1＞0，a2＞0，a3＞0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（a1，a2，a3）在條件φ（a1，a2，a3）=0下的最小值.

由上面的方程組易知，對(duì)任意固定的a2，a3，函數(shù)F（a1，a2，a3）在處取得最小值；對(duì)任意固定的a1，a3，函數(shù)F（a1，a2，a3）在處取得最小值；對(duì)任意固定的a1，a2，函數(shù)F（a1，a2，a3）在處取得最小值.由此得F（a1，a2，a3）在處取得最小值當(dāng)a1+2a2+3a3=1時(shí)

由上面的方程組易知，對(duì)任意固定的y，z，函數(shù)F（x，y，z）在x=2處取得最小值；對(duì)任意固定的x，z，函數(shù)F（x，y，z）在y=2處取得最小值；對(duì)任意固定的x，y，函數(shù)F（x，y，z）在z=2處取得最小值.因此，F(xiàn)（x，y，z）在x=y=z=2處取得最小值當(dāng)時(shí)

小結(jié)：求函數(shù)f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在條件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值，可嘗試構(gòu)造輔助函數(shù)F（x1，x2，…，xn）=f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）+λ［φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）］.固定x1，…，xi-1，xi+1，…，xn，利用對(duì)變量xi的導(dǎo)數(shù)F′xi（x1，x2，…，xn）=f′i（xi）+λφ′i（xi）（i=1，2，…，n）求出F（x1，x2，…，xn）的最值點(diǎn)，從而求出f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）在條件φ1（x1）+φ2（x2）+…+φn（xn）=0下的最值.