高中數學數列問題高考題型及解題方法研究

☉江蘇省如皋市第一中學 吳雅琴

高中數學數列問題高考題型及解題方法研究

☉江蘇省如皋市第一中學 吳雅琴

高中數列知識不僅是高中階段的重要數學知識，還是今后學習高等數學的基礎.從內容的分支與構成上來看，數列部分的知識具有較強的基礎性和發展性，能夠與高中數學中的很多知識相結合，構成新的知識點來考查學生.例如，數列經常與函數、不等式、解析幾何等內容相結合來出題.另外，數列類考題多數與學生的現實生活密切相關，是數學知識在現實生活中應用最為突出的案例，因此，研究高中數學中的數列問題，不僅有助于提高學生高考數學成績，還有利于學生培養學會對數學的應用能力.［1］

一、高考數列部分考點分類概述

通過對近些年高考數學數列部分考題的分析可以看出，數列部分占據著較大的一部分分值，并且很多壓軸題都涉及了數列的相關知識.

從數列考點的分析上來看，在等差數列中，等差數列的概念、通項公式與前n項和公式、在實際問題中的應用、與一次函數的關系是要求學生必須掌握的知識.在等比數列中，等比數列的概念、通項公式與前n項和公式、在實際問題中的應用、與指數函數的關系是要求學生必須掌握的知識.而數列的概念、表示方法、自變量函數、數列的遞推公式則是要求學生了解就可以.從高考數學真題的統計情況來看，多省對數列知識的考查是采用一個小題和一個大題相結合的方式，僅有個別省考查一個小題，但是小題考查的知識點也較為全面.

通過對2015年全國高考數學卷的數列部分考題內容的統計可以看出：數列通項公式的相關知識考了48次，考查的難度偏中等，其考查的主要形式是通過已知遞推關系求通項公式；已知前n項和與第n項的關系求通項公式；已知數列中某幾項的關系求通項公式.數列前n項和的相關知識考了37次，主要就是考查學生對數列求和方法的掌握情況，是高考數學中最為常見的考試類型.數列的性質相關知識考了45次，其考查的難度處在中等水平，主要涉及了選擇題、填空題，考試的內容主要包含了等差數列中項的性質、等比數列中項的性質、數列的單調性和周期性.數列的概念相關知識考了16次，數列與函數綜合類問題考了9次，雖然該部分的知識出現的次數較少，但是所占的分值較多，試題的難度也相對較大.數列與不等式相結合的問題考了19次，多數是以壓軸題的形式出現在高考數學試卷當中，主要涉及不等式的性質和數列的性質.數列與解析幾何相關的問題考了1次，但也是以解答題的形式出現的，所占分數也是不可小覷.

二、數列問題高考題型的分類及解法

1.求數列通項公式類考題

數列的通項公式是數列知識中的核心部分，是研究數列性質的基礎，因此，研究數列通項公式部分的知識，對于學生的數列學習具有不可替代的作用.求數列通項公式類考題是高考數學中較為常見的考題，主要涉及已知遞推關系求通項公式；已知前n項和與第n項的關系求通項公式等相關內容.

第一，我們可以先采用最基本的觀察歸納法來求解.

例1（2014年福建省的數學考題）根據下列各組數據寫出數列的通項公式.

（1）3，15，35，63，…

（2）0，3，8，15，24，…

村長呃你屁股坐在哪邊邊，怎么老替他們說話，你應該幫我講話。我投了你的票的，你是我的村長，我是你的村民。

（4）1，2，2，4，3，8，4，16，5，…

這類問題，學生需要仔細觀察，進而分析、猜想、歸納就可以求出數列的通項公式.

分析：（1）這組數列就可以看成13，35，57，79，…，進而就可以得出an=（2n-1）（2n+1）=4n2-1.（2）在原來數列的基礎上都加上1，得出新的數列1，4，9，16，25，…，進而明顯地看出an=n2-1.（3）對于分數類的數列，可以將分子與分母分開來看待，之后再將它們整合到一個分數當中，這樣就可以很容易的解決.（4）對于這類數列可以通過對它們的奇偶項分開來看待，就可以很輕松的發現規律：奇數項為1，2，3，4，5，…，偶數項為2，4，8，16，…，將它們匯總就可以求出它的通項公式.

第二，我們可以先采用迭代法和累加法相結合的方式來求解.

對于知道a1的值，并且an+1=f（an）的題型，我們就可以利用迭代法對它進行逐次遞減“下標值”的方式求解.對于知道a1的值，并且an+1-an=f（n）的題型，就可以利用累加法來求解.

例2 （2015年浙江省高考數學題）已知數列｛an｝滿足條件，并且

分析：這一題目重點考查數列的遞推關系和不等式的性質問題，在已知條件中已經知道a1的值，并且an+1=f（an），因此，我們就可以利用迭代法來求an，再通過an+1=表示出，從而求出該題.

2.求數列前n項和類考題

數列求和問題是數列中常見的問題之一，對于這類問題是有一定的技巧可尋的.最簡單和常見的就是利用公式法來解題，對于那些特征不是很明顯的就需要通過其他的方法來完成.

第一，倒序相加法，如果在一個數列當中，開始和末尾相等距離的兩個數的和是一個固定的常數，就可以利用倒序相加的方法求解，這是常用的一種方法.

第二，錯位相減法，如果一個數列中滿足“｛an｝是等差數列，｛bn｝是等比數列”的條件，求｛an·bn｝前n項的和.可以在和式兩側同時乘以｛bn｝的公比，然后再作差求解.

例4 （2015年山東省高考數學題）數列｛an｝的前n項的和為Sn，并且2Sn=3n+3.

（1）求｛an｝的通項公式.

（2）如果數列｛bn｝滿足條件anbn=log3an，求｛bn｝前n項的和.

解析：（1）由已知條件和關系式an=Sn-Sn-1（n≥2）即可求出結果.

（2）由第（1）問的結果可以表示出｛bn｝的通項公式，再利用錯位相減法求出｛bn｝的前n項和.因為問題（1）中已經求出an，又因為anbn=log3an，那么，當n≥2時，b=n31-n］，那么3Tn=1+［1×30+2×3-1+3×3-2+…+（n-1）×32-n］.

3.等差數列與等比數列性質類考題

對于等差數列和等比數列性質的問題要注意性質的應用，“如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq”的性質只有當序號之和相等、項數相同的時候才能成立.學生不能夠對性質生搬硬套，否則就會導致做題錯誤.

常見的性質有：如果數列｛an｝，｛bn｝是等差數列，那么 ｛kan+mbn｝ 也是等差數列；am=an+（m+n）d可以和d=相互推導（m≠n，m，n∈N+）；項數為偶數的等差數列｛an｝：S2n=n（a1+2an）=n（an+an+1）；在窮等比數列中，如果項數為奇數，那么

1.孟祖國.高中數列的有效教學研究［D］.武漢：華中師范大學，2011.

2.毛仕理.透析高考命題特點，辨清備考復習航向［N］.中學數學雜志，2014（1）.F