運用“數學猜想”，叩開兒童智慧之門

葛揚芬

摘 要：數學猜想是數學發現的萌芽，可以開啟兒童的智慧之門。而數學解題是培養兒童數學猜想能力的重要載體。教學中，教師可以巧用“類比猜想”、智用“歸納猜想”、善用“審美猜想”、妙用“假設猜想”、運用“直覺猜想”、活用“綜合猜想”等。通過引導學生進行數學猜想，培養學生的創新意識和創新能力，讓學生成為一個數學意義上的“小創客”！

關鍵詞：數學猜想；兒童智慧；創新能力

數學猜想是數學發現的萌芽。英國著名科學家牛頓曾經這樣說，“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發現和發明”。著名物理學大師愛因斯坦也曾這樣說過，“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的，它能概括世界上的一切并且推動著進步。”因此在數學教學中，教師不僅要教知識、教方法、教思想，更要教猜想。

所謂“數學猜想”，是指一種基于數學事實材料和數學知識而生發的大膽的、創造性的想象。數學猜想是以自我內隱的數學觀念、思想、理論和方法等為指導，對某些特定的數學對象及其關系做出的一種推斷、論斷。運用數學猜想，學生可以產生新的解題思路、誕生新的解題方法、發現新的數學知識。因此，數學猜想不是“瞎猜”、不是“胡思亂想”，而是根據問題和條件的特質展開的合理想象。運用“數學猜想”，可以開啟兒童的數學智慧之門。

一、巧用“類比猜想”

“類比猜想”是根據數學對象的已有條件的內涵、性質等，通過巧妙地類比，推出另一個對象可能也具有相似的問題解決策略、方法或相應結果。數學的類比猜想能夠活化學生思維，是學生數學發現的重要手段。

例1：理發店里的王師傅有兩條毛巾，既可以作為披肩用，也可以用作洗頭。如果作披肩用，160天毛巾將破舊報廢；如果用作擦頭發，40天就報廢。為了使用的天數盡可能多一些，王師傅交替著使用這條毛巾，即毛巾既作為披肩，又用作擦頭發。那么一條毛巾最多可以用多少天？

分析：根據題目的文字表述，我們很容易就會發現，這一道題目的意思類似于“工程問題”。基于此，我們可以展開類比猜想，如“一項工程，甲單獨做需要160天，乙單獨做需要80天。現在兩隊合做，需要多少天可以完成這樣的工程？”在這里，陌生化的數量關系被轉化成熟悉的數量關系，其中的數學解題思路一目了然。因此，我們可以將一條毛巾的使用天數看作單位“1”，則作披肩用每天使用毛巾折舊，作洗頭用每天使用毛巾折舊為，兩種用法交替使用一天，即2天的折舊為+=。那么，要求一條毛巾交替使用最多可以使用多少天，就是求單位“2”里面有幾個+=。類比猜想讓數學問題得以巧妙解決。

因此本題可以這樣列式：2÷+=64（天）。

二、智用“歸納猜想”

所謂“歸納猜想”，是指學生運用歸納法（完全歸納法和不完全歸納法）對研究對象或問題從一定數量的個例、特例、具體或全部例證中展開數學觀察、數學分析，進而得出某些一般性的數學結論的猜想。運用“歸納猜想”的一般步驟為：觀察—歸納—猜想—驗證。

例2：在平面上畫兩條直線，會產生一個交點；在平面上畫三條直線，直線與直線兩兩相交，會產生3個交點。那么，在平面上畫100條直線，這些直線兩兩相交，一共會產生多少個交點？

分析：這一道習題顯然我們應該采用“不完全歸納法”來分析問題、解決問題。即從某類事物中的部分事物出發，探究部分事物的規律、性質或關系，進而推斷出全體的規律、性質或關系等。這里一般用的是因果歸納，即在這個過程中，我們無須考慮對象的全體，而只需對部分對象展開數學觀察、研究，進而得出數學結論。所以，不完全歸納中的因果歸納法要比完全歸納中的列舉歸納更具思維活力。這里，數學觀察和數學實驗是展開歸納猜想的基礎。在本題中，我們可以通過畫圖，列表（如表1）展開具體分析。

根據上述表格，不難發現淺表性的數學規律，即從1開始的若干個連續自然數的和。深入觀察便會發現，如果直線的條數為n，那么交點的個數就是1+2+…+（n-1）。我們不禁要問，每一次增加的交點有沒有什么規律呢？對了，每一次增加的交點個數是原來的直線數。這是為什么呢？因為每次增加一條直線都是在原有直線條數的基礎上增加的，都要和原有直線相交。因此，增加的交點數就是原有直線的條數。

因此本題可以這樣列式：1+2+3+…+99=4950（個）。

三、善用“審美猜想”

數學是一門美的科學。許多數學問題都有著簡約美、奇異美、對稱美、和諧美等。教學中教師要善于引發學生的“審美猜想”，通過學生的“美感思維”對數學問題用一種別樣的策略來解決。在數學解題過程中，許多看似復雜、困難的問題，其解決策略卻是簡單的、充滿美感的。

例3：求圖1的周長。

分析：這是求一個不規則的圖形的周長的問題。在解決問題的過程中，我們當然可以各個擊破，分別求出三個“圓周長的一半”，然后相加，最后求出整個圖形的周長。但其實我們可以對這個圖形展開動態處理和“審美猜想”。如果將左邊“小圓周長的一半”移至右邊“小圓周長的一半”的上面，可以湊成一個小圓（如圖2）。然后我們可以將小圓的周長往左拉，就可以形成右邊的圓（如圖3）。因此，本題中圖1的周長也就是圖3的周長。

因此本題列式為：C=2πr=8π（m）。

四、妙用“假設猜想”

假設猜想是指在數學猜想中運用“假設法”，根據數學問題的性質和條件的特點做出的一種先行于正確解答的數學猜想。假設猜想是一個多向思維的心理過程，具有經驗性、跳躍性、主動性的特點。“假設猜想”猶如在大海捕魚，雖然不能“竭澤而漁”、十拿九穩，但是依據自己的數學知識經驗和解題經驗，甚至一剎那的靈感都能做出一種即時判斷。

例4：明明從山腳上山頂，每分鐘行30米，從山頂沿著原路返回山腳，明明每分鐘行50米。已知明明上山比下山多用了4分鐘。那么，山腳與山頂的距離是多少米？

分析：由于題目中已知明明上山的速度和下山的速度以及上山與下山的時間差，而路程未知，導致本題看上去無從下手。不過復雜的問題背后考量的是數學猜想的智慧。在本題中，如果我們巧妙設數，對山腳與山頂的距離進行合理、巧妙地賦值，即把未知數量具體化，則或許可以讓問題快捷地解決。據此，我們用假設法展開合理的數學猜想。根據明明上山的速度是每分鐘30米和下山的速度是每分鐘50米，我們可以假設山腳和山頂的距離是150米（30和50的最小公倍數）。接著我們可以檢驗猜想，當山腳與山頂的距離是150米的時候，上山比下山多用了150÷30-150÷50=2分鐘。而題目中明明上山比下山多用了4分鐘，所以我們要調整猜想。因為4÷2=2，所以我們就再次假設山腳與山頂的路程為150×2=300米。再次檢驗我們的假設：300÷30-300÷50=4分鐘，與題目條件相符。

因此本題的正確結果是300米。

五、運用“直覺猜想”

在數學學習中，許多學生往往能夠迅速解決問題，這體現為一種深刻的洞見。其中，直覺猜想往往發揮著重要的作用。著名物理學家愛因斯坦說，“我信任直覺。”在解決數學問題的過程中，我們應當首先對解題結果或解題過程有一個大致的估測，這是一種以直接的、跨越式的方式整體地把握問題、直接獲取答案的過程。學生依憑自己的數學知識和數學想象力往往能夠大致確定問題的結果范圍。

例5：如圖4，在梯形ABCD中，△AOD和△BOC兩個陰影部分的面積相比（ ）（a大、b大、一樣大）。

分析：數學直覺洞察力是評價學生數學才能的一個重要標準。在本題中，我們憑借直覺認為△AOD和△BOC的面積相等。當然，這種依靠直覺的數學猜想開始是無效果的，如何“有效地證明”呢？在數學直覺猜想的引導下，我們會發現△ADC和△BDC是同底等高的三角形，因此△ADC和△BDC的面積是相等的。那么，△AOD、△BOC與△ADC、△BDC之間有沒有什么關系呢？不難看出△ADC的面積比△AOD的面積多了一個△ODC，而△BDC的面積比△BOC的面積也多了一個△ODC。因此，從△ADC和△BDC中分別減去一個△DOC的面積，剩下的△AOD和△BOC的面積也就分別相等。

因此，本題中△AOD和△BOC的面積相等。

六、活用“綜合猜想”

很多時候，猜想并不是單一的，而是綜合了類比、歸納與假設等多種數學猜想方法。首先是要教給學生基本的數學猜想方法，在學生掌握了基本數學猜想方法后，要引領學生進行綜合猜想，培養學生的綜合猜想能力。通過一定的題目誘導學生進行類比、聯想，不斷開闊學生的解題思路、解題方法，形成學生的解題思想。

分析：這道題目如果將分母算出來，然后通分簡直不可思議。因為分子都是1，所以我們還應該從分母處展開聯想。熟練的分數加減法的經驗告訴我們，這道題可以和“裂項相消法”類比起來，將題目中的所有的項的乘積形式都改寫成差的形式：如1-=，-=，…，-=。接著可以讓學生展開歸納猜想，=（-）。然后將上述題目中的每一項都寫成兩個分數的差的形式。最后將分母是積的形式轉化成分母是差的形式。

因此，本題的正確解法是：

數學猜想能力是學生數學認知中最活躍、最具創造性的因子，它不是一朝一夕能形成的，而是需要教師長期的悉心培養。因此數學教學中，教師不能簡單而機械地傳授知識，而應將學生的數學猜想融入知識的生成過程中，融入數學的解題過程中。只有這樣，才能萌發學生的創新意識，培養學生的創新能力，讓學生成為一個數學意義上的“小創客”！