知其所以然，才知其然
——例談數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的溯本求源

朱紹敏

筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生“知其所以然”，從而使學(xué)生真正“知其然”。教學(xué)中不但要讓學(xué)生知道結(jié)果，更要讓學(xué)生知道結(jié)果的來(lái)源。以下三則案例源于筆者的多年教學(xué)實(shí)踐，異曲同工之處在于重視學(xué)生的體驗(yàn)和感悟、重視概念的生成過(guò)程，在知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)處精心設(shè)計(jì)，溯本求源，引領(lǐng)學(xué)生自主探究獲得知識(shí)，做到了學(xué)有痕而教無(wú)痕。

【案例1速度單位】

（溯本求源，制造沖突）

“神十一”飛船在太空5秒飛行了約40千米，飛船的速度約是（ ）。

小方騎自行車，2小時(shí)騎了16千米。小方騎自行車的速度是（ ）。

師：神舟飛船和小方騎自行車，誰(shuí)的速度快呢？

生：一樣快，都是8千米。

生：不一樣！“神十一”飛船的速度是每秒8千米，而小方騎自行車的速度是每小時(shí)8千米。

（教師板書：每秒8千米每時(shí)8千米）

師：每次都要寫這么長(zhǎng)的一句話來(lái)補(bǔ)充說(shuō)明，好麻煩呀！你能不能設(shè)計(jì)一種新型的單位，讓人一看單位就全明白了？

生：可以在千米的后面加上斜桿再加上時(shí)間單位。

（請(qǐng)學(xué)生上黑板上來(lái)：8千米/秒 8千米/時(shí)）

師：我們寫速度單位時(shí)，不僅要寫路程單位，也要寫時(shí)間單位，大家要完整地表示出來(lái)。

師：你對(duì)速度有什么新的認(rèn)識(shí)？速度表示什么？

生：速度表示每秒、每分、每時(shí)走幾米。

師：是的，速度表示每秒、每分、每時(shí)……單位時(shí)間里所走的路程。它和時(shí)間、路程有著密切的關(guān)系，速度單位是復(fù)合單位，不僅含時(shí)間單位同時(shí)含路程單位。

【評(píng)析：從兩個(gè)8千米的同與不同引起學(xué)生思維的激辯，水到渠成地引出速度概念是復(fù)合單位的深層含義?！?/p>

【案例2利用數(shù)對(duì)確定位置】

（現(xiàn)場(chǎng)資源，直觀感悟）

師：班里來(lái)了一位新老師，你能用一句話來(lái)表述一下數(shù)學(xué)課代表現(xiàn)在所處的位置嗎？

生：數(shù)學(xué)課代表在我的左邊。

生：數(shù)學(xué)課代表在我的前邊。

生：數(shù)學(xué)課代表在我的東南面。

師：這幾種表述，不同位置的人有不同的表達(dá)，老師需要先找到你的位置，然后再找你的左邊、前邊或東南面；而且，你的左邊、前邊或東南面可是有一大片同學(xué)，所以新老師還是不能找準(zhǔn)具體哪一位是數(shù)學(xué)課代表。

師：還有其它更準(zhǔn)確的表達(dá)方式嗎？

生：課代表在第2組第4個(gè)。

師：新老師完全可以根據(jù)你的信息，準(zhǔn)確無(wú)誤地直接找到課代表的位置。

（板書：第2組第4個(gè)）

師：如果你只告訴新老師，課代表在第2組，情況會(huì)怎樣？你只告訴新老師，課代表在第4個(gè)，情況又會(huì)怎樣？

生：如果只說(shuō)課代表在第2組，那么老師會(huì)在第2組找但不知道是第幾個(gè)；如果只說(shuō)課代表在第4個(gè)，那么老師會(huì)在每組的第4個(gè)找，但還是不知道究竟是哪一組的第4個(gè)。

師：那就是說(shuō)，像我們現(xiàn)在這樣，有好多組，每組又有好多個(gè)，這樣的情況下，若想確定某一個(gè)位置，我們不僅要交待“第幾組”，還要交待“第幾個(gè)”。只有這兩者都說(shuō)明白了，才能“確定某一個(gè)位置”。這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)《確定位置》。（板書）

師：剛才課代表的位置可以用數(shù)對(duì)（2，4）來(lái)表示，跟老師讀一讀這個(gè)數(shù)對(duì)：數(shù)對(duì)二四。

……

【評(píng)析：學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)回答“左邊”“前邊”“東南面”等，這種表述的缺點(diǎn)其一是位置不明確，左邊、前邊、東南面的同學(xué)不止一個(gè)；其二是這樣的表述以回答者個(gè)人為標(biāo)準(zhǔn)，要想找課代表，得先找發(fā)言同學(xué)的位置，再找他的左邊、前邊或東南面，是間接的。引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的座位分布情況，提出用第×組第×個(gè)來(lái)表述。然后通過(guò)追問(wèn)，讓學(xué)生感受：確定位置時(shí)，僅從“行”或“列”的一維角度出發(fā)是不夠的，確定位置需要二維性，這也是數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)的來(lái)源?！?/p>

【案例3長(zhǎng)方形的面積】

（操作表象，內(nèi)化推理）

1.小組合作測(cè)面積。

鋪一鋪：利用1平方分米的小正方形測(cè)大長(zhǎng)方形紙的面積。

說(shuō)一說(shuō)：我用面積是（）的小正形去鋪，每行（）個(gè)，有（）行，共（）個(gè)，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（）。

師：你怎么算出這個(gè)長(zhǎng)方形共鋪12個(gè)的？算式是什么？

生：算式是4×3。

（板書：4×3=12）

師：4、3、12各表示什么？

生：4表示每行個(gè)數(shù)，3表示行數(shù)，12表示總個(gè)數(shù)。

師：看來(lái)求總個(gè)數(shù)可以用每行個(gè)數(shù)乘行數(shù)。

（板書：每行個(gè)數(shù)×行數(shù)＝總個(gè)數(shù)）

師（橫豎各鋪一條邊）：這種鋪法，沒鋪滿，你們?cè)趺纯闯鲆还部梢凿?2個(gè)呀？

生：橫鋪一行有4個(gè)，說(shuō)明每行是4個(gè)；豎排一列有3個(gè)，說(shuō)明有3行。

師：同學(xué)們真聰明，這種鋪法，雖然沒有鋪滿，但沿長(zhǎng)邊鋪一行已經(jīng)可以看出每行個(gè)數(shù)，沿寬鋪一列可以看出能鋪的行數(shù)。用每行個(gè)數(shù)乘行數(shù)，就可以求出總個(gè)數(shù)，總個(gè)數(shù)知道了，面積也就知道了。

【評(píng)析：從滿鋪到各鋪一邊，這是思維的第一次提煉：拋開操作中具體事物的外衣，留下了具有思維含量的數(shù)學(xué)思考。】

2.想象鋪，求面積。

（1）屏幕出示：中間一個(gè)紅色大長(zhǎng)方形，右上角一個(gè)小正方形。

師：看屏幕，右上角這個(gè)小正方形的面積是1平方厘米，請(qǐng)你估一估，中間這個(gè)紅色長(zhǎng)方形的面積。你會(huì)怎么估？

生：我估每行鋪5個(gè)，能鋪3行，共15個(gè)，所以我估它的面積是15平方厘米。

生：我估面積是18平方厘米，每行鋪6個(gè)，有3行。

（屏幕出示：長(zhǎng)6厘米，寬4厘米）

師：現(xiàn)在，你能確定，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？怎么推算的？

生：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是24平方厘米。

生：我想象這樣鋪：每行鋪6個(gè)，能鋪4行，一共是24個(gè)1平方厘米。

師：每行鋪6個(gè)，能鋪4行，你是根據(jù)什么確定的？

生：長(zhǎng)6厘米，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，說(shuō)明每行能鋪6個(gè)；寬4厘米，說(shuō)明能鋪4行。

師：看電腦老師鋪。（課件演示）他說(shuō)對(duì)了嗎？

（板書算式6×4=24）

師：為什么剛開始估不準(zhǔn)呢？

生：因?yàn)閯傞_始，我們不知道長(zhǎng)和寬。

師：為什么長(zhǎng)、寬不知道，面積就估不準(zhǔn)？

生：長(zhǎng)寬不知道，每行個(gè)數(shù)和行數(shù)就不能確定，所以不能確定面積。

題目：一個(gè)長(zhǎng)方形游泳池，長(zhǎng)50米，寬30米，它的池面面積是多少？

師：你會(huì)用什么方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？有想下水去鋪一鋪的想法嗎？那你會(huì)有什么好辦法？

生：不用下水去鋪，用長(zhǎng)乘寬就可以！

生：長(zhǎng)乘寬等于面積！

師：大家聽明白了嗎？長(zhǎng)幾，每行個(gè)數(shù)就是幾；寬幾，行數(shù)就是幾。我們?cè)瓉?lái)用“每行個(gè)數(shù)×行數(shù)”求出總個(gè)數(shù)，來(lái)推算面積?，F(xiàn)在，知道了這個(gè)奧秘以后，我們可以直接用“長(zhǎng)×寬”來(lái)求長(zhǎng)方形的面積了。

（板書：長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)方形的面積）

【評(píng)析：學(xué)生從“操作鋪求面積”→“想象鋪求面積”→“根據(jù)長(zhǎng)寬直接推算面積”，學(xué)生的思維從實(shí)際操作的層面，過(guò)渡到了“用思維去把握對(duì)象”，這是學(xué)生操作活動(dòng)內(nèi)化的結(jié)果，體現(xiàn)了“操作→表象→推理”的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程?！?/p>