如何在數學課堂教學中落實核心素養培養

李錦旭

北京市數學特級教師，現任教于北京市十一學校。承擔“數學模型解題法”等6項國家級課題，出版個人專著《高考數學壓軸題破題36計》等8部，在《數學通報》《數學教學》等省級以上刊物中發表教研論文100余篇，其中多篇被中國人民大學資料中心收錄。

“學科核心素養”是時下談論較多的一個詞，如何在課堂教學中培養學生的核心素養是一個我們需要關注的問題。一個具有一定造詣的教師，已然形成自己獨特的教學風格，其課堂教學具有自然的“藝術性”，能讓聽過其課的師生無一不被其人格魅力和教學藝術所震撼與熏染。細加剖析，這其中的原因是多方面的，僅就“核心素養”的角度考慮，是其對學生“核心素養”的培養落實得到位。具體而言，其含義有二：一是幫助學生把陳述性知識變成程序性知識，即讓學生掌握了分析問題、解決問題的思維方法，培養了學生可以遷移的自主學習能力；二是在師生共同的活動過程中，讓學生充分體驗到學習的快樂，有效地鍛煉了學生的開拓進取、知難而進的意志品質。

其實，關鍵是“如何教”的問題。這是一個極為現實的問題，也是討論太多的問題，似乎沒有定型的答案，沒有固定的課堂教學模式可供遵循。還是魏書生先生說的好，若你善于講，就發揮講的優勢，若你善于啟發學生自學，就教給學生自學的方法，總之，尋求你所擅長的高效做法。這篇文章里，我從常規的生態課堂教學入手，主要從分層設計、課堂操作、過程評價三個方面作一點說明，供大家參考。

一、分層設計

《禮記·學記》提出“學不躐等”，其含義有二：一是不同學生已有的知識層次和水平有差異；二是處于同一層次（水平）的學生在不同成長階段需要施以不同的教學內容和不同的教學方法。因此，我們需要充分了解不同學生和同一學生在不同階段所處的層次，再有針對性地進行分層設計。

十一學校的做法是：第一，以入校前測的結果指導分層，印發《選課指導手冊》，提出選課建議，實施“小班化”教學；第二，在起始年級配備導師，進行有針對性的個別指導—發現那棵樹，即關注個體、張揚其個性。導師的三個基本功能是：學業指導、心理疏導、人生引導。

二、課堂操作

每一節課都要給學生自學方法的示范；各學科都要設計能讓師生有共同收獲、共同成長的活動。例如，在數學課堂上，可以為學生構建一個研究數學對象的基本套路，即通過設計系列數學活動，讓學生經歷“事實—概念—性質（關系）—結構（聯系）—應用”的完整過程（以此為教學內容的明線），使學生完成“事實—方法—方法論—數學學科本質觀”的超越（以此為暗線）。從數學學科的核心素養角度看，若要從事實到概念皆融“數學抽象”于其中，可通過創設問題情境讓學生盡快進入狀態，激發學生的探究欲；從理解概念到明了性質，這一過程應使學生得到“數學推理”的基本訓練，包括通過歸納推理發現性質，通過（邏輯）演繹推理證明性質；從明了性質到形成結構主要也是“數學推理”，因為這是建立相關知識的聯系、形成結構功能良好、遷移能力強大的數學認知結構的過程；從理解概念、明了性質、形成結構到實踐應用，在這一過程中，教師應隨時注重指導學生用數學知識解決數學內外的問題，使學生得到“數學建模”的有效

訓練。

在上述幾個步驟的關鍵處，應注意適時引導，加強“一般觀念”的指導作用，如“如何思考”“如何發現”“從什么角度觀察”；觀察結構特征可從“數”“形”兩個角度（靜態）入手，若從動態角度入手，可改變目前問題的形式，進行等價轉化后再讓學生觀察，進行必要的模式識別，學生往往會有新的發現，這時學生又可得到“直觀想象”“數據分析”的訓練。

我以課題《空間角的計算》的同課異構課型為例來具體說明。

【教師甲】

直接給出異面直線所成角、線面角、二面角的定義，稍加解釋后引入空間向量方法，然后教師用課堂三分之二的時間進行例題講解、題組練習，重點訓練學生對于用向量方法求解三種空間角的能力。學生不感到難，接受情況好，聽課老師也普遍反映課堂效果好。

【教師乙】

1.創設情境（事實）

首先投影，給出四個畫面讓學生觀察：縱橫交錯的高速公路（異面直線所成的角）、兩條電線短路放電的瞬間（異面直線的距離）、比薩斜塔傾斜度的測量（線面角）、蝴蝶展翅（飛翔）來回扇動翅膀的過程（二面角的大小）。

2.引入概念（數學抽象）

演示從平面到空間的變化過程，從而抽象出概念的本質屬性。如異面直線可看成兩條相交直線（就地取材，權且用兩根粉筆取代），其中一條不動，另一條在空間向上（或向下）平行移動而成；還可看成兩條平行直線，其中一條不動，另一條繞其上一點在空間轉動而成。這種演示，可以有效地啟發學生發現表征異面直線的兩個要素：異面直線所成的角與距離，同時也能為學生進一步抽象出異面直線的定義提供直觀的形象載體。

3.求法研究（即性質、結構的探究）

圖形均為空間圖形，難以直接測量，其求法應當考慮轉化與化歸到平面上，用平面角來表示，即尋找一個典型的截面。如上述演示，回歸即可引出作表征異面直線所成角用平面角的想法。這既分析了空間線面關系，又給出了求異面直線所成角的基本方法，即在具體圖形中過某定點（最好選在這兩條線上某個固定的點）作其中一條的平行線，將題設相關條件有效轉化到一個三角形中，解此三角形即可。

同理，線面角轉化為斜線與其在平面上射影的夾角，二面角則用垂直于棱的平面所截的兩條射線夾角來表示，但在具體解題中不實用，可這樣引導：仿照線面角的尋找方法來找二面角，即先過其中一個半平面上一點P（不在棱上）向另一個半平面引垂線，過垂足H向棱引垂線，垂足為A，連結PA（易得AP垂直于棱），則角PAH就是二面角的平面角，或過點P分別向棱和另一半平面引垂線，垂足分別為A、H，連結AH（易得AH垂直于棱），則角PAH就是二面角的平面角，解三角形PAH即可。

再啟發：還有什么比較好的方法可以求這些角嗎？引入空間向量，介紹向量方法。引導學生：對于直角結構明顯的空間圖形，可建立坐標系，用向量坐標法解決，而直角結構不太明顯者，可酌情考慮選一組基底，用向量幾何法解決，或化斜為直，建立空間直角坐標系，用向量坐標法解決。

4.應用（例題講解、題組練習）

到此，課堂時間過去近四分之三，當然，用向量法求空間角的訓練不夠充分。

教師甲（蘇步青獎獲得者）將本節課定位于用向量坐標法求空間角，主要時間用于訓練空間角的求法及其各種變式，學生當堂就能較為熟練地掌握空間角的向量求法，符合最新課改理念：將幾何問題轉化為代數問題來解決，弱化對于空間線面關系的抽象分析；同時也符合學校教學實際情況：課時緊，任務重，只能揀“干”的來。

教師乙則定位于核心概念教學，重點放在引導空間角（三種）概念的抽象、性質結構（即核心概念的內涵與外延以及這三種角的內在聯系）的探究，求法也不局限于只用向量法，而且，即使用向量法，教師也還有向量幾何法的引導。本節課易被詬病的地方是：在傳統幾何法方面用時過多，向量法也訓練不充分，教學環節不完整，沒有很好地完成教學任務。從教師乙的課堂教學設計來看，我們需要注意以下幾點：

1.核心概念本身即蘊涵著思維訓練價值，蘊含著分析問題、解決問題的思維方法，教學中不宜輕輕滑過。

2.注意引導學生體會三種角之間的有機聯系，尤其是在新授課之初，否則在其他課上更沒有時間分析。

3.數學思想、數學觀念在數學學習過程中具有居高臨下的指導作用，如本例中用類比與化歸思想分析問題，容易探究到角的本質，實在而直接，不能因誤認為其虛泛而掠過。

4.新課標對數學內容側重點的轉型研究：新課標在此處的著力點已經由空間想象力轉移到量化處理（幾何問題代數化）能力，教師甲的處理符合新課改理念，因此得到許多教師和專家的肯定，但我認為還有值得商榷之處。

開設立體幾何課的主要目的不是用空間向量法解決立體幾何的問題（即幾何問題代數化），因為幾何問題代數化的思維方法在解析幾何中體現得更為充分，沒有必要再在立體幾何課中重復這一理念。開設立體幾何課的主要目的是發展空間想象力，宏觀上將視角由平面（二維）拓展到空間（三維），力求還原三維空間事物的本來面目，微觀上則需要將視角集中于一個固定的空間圖形，剖析還原，細致地分析空間圖形的線面關系，這樣才能有效地訓練學生空間的聯想和想象力，發展空間想象能力。而向量坐標法訓練得再熟練，也無法達到通過分析空間線面關系來發展空間想象力的效果。事實上，現實的教學已經證明：理科學生在立體幾何方面的推理能力甚至弱于文科生，主要原因是大多數省份的文科生不學空間向量，只能用傳統的幾何法分析解決問題，而理科學生自從學了空間向量法以后，甚至于連空間內一個關鍵點的三維坐標都難以準確寫出。這是將在2017年實行的最新一輪的課程改革需要面對的現實問題，因為我們已經不止一次地研討過新出臺的《普通高中數學課程標準》，其對于立體幾何問題主要是用空間向量法處理，對于用傳統幾何法是弱化的，而且也不再有《幾何證明選講》之類的選修課程。

三、建立科學高效的過程評價體系

評價起著導向和激勵作用。針對不同層次的學生，面對不同的課型，其評價指標和權重都有所不同。研發評價系統是任何一所學校都極為重視的工作，這需要學校結合自身實際，注重導向性、激勵性、有效性（時效與長效有機結合）、針對性等原則。過程評價主要為學生提供日常學習的參考數據，為其調整日常學習的效率提供決策依據。

十一學校對于學生日常學習的過程性評價的基本做法是：每位教師都及時將所教學生的常規表現納入過程評價系統，設立考勤、課堂表現（積極主動參與課堂互動、發言、創意等）、作業、前測與章節過關測驗等幾項，每項以分數多少作為參與度或質量指標，每次過評的滿分為40分。學生每天登錄平臺，就能看見自己前一天（或前幾天）的過評數據，可以及時調整自己的學習狀態和方式方法。

教師還可以借助過程性評價管理系統的平臺對學生進行個別化指導，如通過留言或鼓勵其進步，或激發其創意，或提醒、指出其待改進處，或共擬未來一段時間的讀書、自學具體計劃……

總之，課堂是師生交流的主渠道，是創意生成的有效時空載體。其實，學生的創意、創造遠不止于課堂，只要教師敢于放手，有意引導、并創設自由平等的氛圍，學生可能會隨時給你意想不到的驚喜。正如陶行知先生所言：“處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人。”

“建國君民，教學為先”。古人已經把教學的重要性提升到強盛國家管理百姓的高度。教育為百年大計，新時代對教師的素養提出了很高的要求：既要有精深的專業素養、強烈的人文情懷、開放的觀念與宏闊的視野，又要與時俱進、不斷學習，因為只有這樣，教師才有可能培養出志遠意誠、思方行圓，同時具有國際視野和世界眼光的民族脊梁和國家棟梁。

責任編輯：肖佳曉

xiaojx@zgjszz.cn