案例教學法在概率統計課程中的應用研究

汪紅霞

摘 要 “概率論與數理統計”是最重要的公共基礎課程之一，其理論嚴謹，應用廣泛。采用案例教學法，能充分調動學生的學習積極性。本文討論了案例教學法應用于“概率論與數理統計”課程的意義，方法與步驟以及案例的選用準則。

關鍵詞 概率論與數理統計 案例教學法 準則

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.043

0引言

“概率論與數理統計”是一門研究隨機現象規律的學科。它用統計的思維和方法探索不確定性的客觀世界，用隨機性思維認識人類社會中各個領域的非確定性事物。它特有的探索思想滲透于現代生活的方方面面，成為眾多學科領域不可替代的常用分析工具。通過學習該課程，學生既可以獲得概率論與數理統計較為全面的基礎知識和方法，又能學到觀察客觀世界的隨機性思維方式，掌握處理不確定性問題的隨機分析、統計分析和數據處理技術，培養用隨機性思維分析、解決問題的能力。

目前，在該課程教學中，仍存在“填鴨式教學”現象，教師占據著絕對權威地位，學生則被動接受。而“概率論與數理統計”這門課程具有理論方法獨特、抽象的特點，使得這門學科的思維方式與以往學生們接觸的數學基礎課程有較大的區別。若一味機械地進行定義、定理等講解，會讓學生感到該課程枯燥乏味，無法取得良好的教學效果。

怎樣激發學生的積極性與主動性，培養能把理論與實踐相結合，具有創新精神的人才，是我們必須面對的重要課題。在上世紀初，美國教育學家杜威針對傳統教育的弊端，提出了“明了—聯想—系統—方法”教學四個階段的創造性觀點，注重培養學生發現問題、解決問題的技能，即“確定問題情境—提出解決方案—搜集資料驗證、假設—得出結論?！睆娬{將實際案例融入到教學中，通過讓學生緊密合作來解決實際案例問題，再學習案例背后隱藏的科學知識，形成解決現實問題的技能，并培養自主學習能力。案例教學法起源于上世紀20年代，最早由哈佛商學院提出，當時他們采用的案例都是來自經濟管理中的真實事件。到了20世紀80年代，由于美國卡內基小組于1986年提出了《準備就緒的國家：二十一世紀的教師》報告，報告中特別指出了案例教學法在師資培育課程的價值，并提出案例教學法是一種相當有效的教學模式，案例教學法才得到重視。案例教學法于1990年起開始在我國教育界受到重視，發展至今已頗具成效，現在我國每年還舉辦全國應用統計專業碩士案例大賽。下面就案例教學法的意義、步驟及選用標準進行闡述。

1 案例教學法的意義及作用

案例教學法主要有三個作用：一是激發學生的學習興趣和主動性；二是提高學生解決實際問題的能力；三是提高學生的創新能力及團隊合作能力。總之，它是一種既能提高學生的綜合素質，又能將理論與實踐相結合的有效教學模式。①

（1）激發學生的學習興趣和主動性。案例教學法將現實世界中的實際案例帶入課堂，讓學生獨立思考與分析，此時教師已轉變了角色，教師不再是絕對權威者，成為學生主動學習的引導者，這樣不僅能激發學生的學習動力，還能培養學生的學習興趣。

（2）提高解決實際問題的能力。“概率論與數理統計”課程的許多內容都與生活和生產實踐緊密相關，案例教學法不僅能使學生更加深入地理解理論知識，還能促使學生把所學的理論知識運用于實踐。針對實際案例，結合統計計算軟件，從而能提高學生解決實際問題的能力。

（3）提高創新能力及團隊合作能力。案例教學法應用于課堂的過程中，學生的主體地位得到了尊重，教師則起到引導作用。一般情況下教師將學生分成若干個學習小組，每個小組圍繞教師提供的實際案例展開討論，各成員進行積極思考與發言，在教師的引導下提出解決問題的有效方法。這樣不僅可以培養學生的團結協作能力，又可以從不同角度理解掌握理論知識，最終獲得創新能力與團隊協作能力的提高。

2 方法及步驟

2.1 案例精選

教師要結合“概率論與數理統計”課程中的理論知識點，有針對性地精選現實世界中典型的案例，再在教學中以恰當的方式展示給學生，激發學生的積極性及主動性，讓學生帶著案例去理解消化課本中的理論知識，有效提升學習效果。在精選案例后，教師要注意三個方面的內容：一是確定案例的展示形式，以使學生能充分理解案例內容；二是教師要根據案例設置出能體現教學重點及難點的問題，讓學生容易將課本理論知識融入案例中，去發現問題、提出問題，進而提出解決問題的方法；三是教師結合案例提出的問題要能體現課本中的知識點，要易于學生接受。問題要由淺入深地展示給學生，使得課本中的理論知識充分融入案例教學中。

2.2 案例討論

實施案例教學法的關鍵是激發學生主動參與案例討論。教師在教學前精選一個典型案例，然后依據教學目的，整理出相應問題，調動學生的探討興趣，促使學生利用課內外所學的理論知識對案例展開積極討論。每個人在討論過程中要發表各自的思想與觀點，然后各組或班級對討論的結果進行總結，最后教師對學生的討論結果進行點評，從而使學生得到啟發，培養了學生解決實際問題的能力。

2.3 案例總結

教師總結是實施案例教學法的最后一步，也是關鍵一步。在案例總結中，教師要及時評價學生的優缺點，分析案例的疑難點，有針對性地進行擴展分析。教師要從不同角度對學生討論中存在的問題加以指導，用不同方法來解決案例中的問題，結合常用的統計軟件（R、SAS等）編程來解決問題，再總結出最佳方案。希望通過案例總結，使學生學會運用所學知識來解決問題，最終讓學生能舉一反三、觸類旁通，使所學到的理論知識得以延伸及應用，解決現實中的相關問題，也可以提高學生的計算能力。

3 選用準則

3.1 趣味性

興趣是最好的老師。概率論與數理統計中有很多有趣的典故和例子都來源于生活。教師可以引用實際案例，激發學生的學習興趣。比如在講古典概型時，可以給學生舉賭徒分賭金的例子：甲、乙兩賭徒分別下賭金500，約定誰先贏5局，誰就能獲得全部賭金。賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，他們不想賭下去了，應該怎樣公平地分配賭金？有些例子可以用玩游戲的方式呈現出來，例如關于有獎競猜的蒙提霍爾問題。教師可以給學生設置場景，假如學生在參加一個電視有獎競猜節目，教師給學生三個箱子，編號分別為A、B、C，其中有一個箱子里有獎（教師知道哪個箱子有獎），學生選擇了其中一個箱子（假如是A箱），教師打開了B箱，并讓學生看到B箱里沒有獎，此時教師可以問學生：“給你一次機會，你改變自己的主意，會選C箱嗎？”這些是有趣的例子，學生期待找到答案，學習動力會更足。

3.2 典型性

案例是為教學目標服務的，所選案例應該與相應的理論知識有直接聯系，因此它應該具有典型性。比如討論抽簽公平性問題，講古典概型時可以提問題：盒中有a個黑球，b個白球，把球隨機地逐個取出（不放回），那么事件A：“第k（1≤ k ≤ a+b）次取到黑球”的概率？講解條件概率時，可以提問：5張簽中有3張“有”，2張“無”，5人依次抽簽（不放回），那每個人抽到“有”的概率是多少？ 所以教師應該精心選擇有代表性的案例，并且給學生歸類總結，舉一反三，會達到事半功倍的效果。

3.3 知識性

有一些概率統計問題，可利用別的數學知識來加以分析解答。反過來，其它一些數學問題，也可以利用概率統計的知識來解決。因此教師可以列舉一些表面上不屬于概率統計范疇內的問題，利用概率統計的思想方法，建立適當的概率模型，通過統計軟件編程去解決這些問題。如利用概率統計模型可以求解很難直接計算的積分、極限等數學問題，增加概率論與數理統計的知識性，激發學生的學習興趣。

3.4 實用性

在案例選取過程中，還要注意增加與實際生活貼近的例子，如：電影院設座問題、捕魚問題、諸葛亮與臭皮匠問題、庫存與收益問題、彩票中獎率問題等。對這些案例的背景、解決方法、所涉及的知識點等進行講解，再介紹用統計軟件解決這些實際問題，不僅能提高學生的積極性，也能使學生明白概率統計是建立在現實生活基礎上的一門應用性很強的學科，從而使學生認識到這門課的重要性。引入案例后，要引導學生對每一個案例進行分析，思考下列問題：（1）要解決的問題是什么？（2）有些什么方法可以來解決這個問題？（3）怎樣運用這些方法來解決問題？（4）如何用統計軟件編程來解決實際問題？這樣能使學生理清思路，從整體上把握概率統計的基本思想。

4 小結

總之，在“概率論與數理統計”課程中應用案例教學法，無論是在教學內容上，還是在教學形式、方法和手段方面，都是對傳統數學教學模式的一種發展和補充。案例教學法充分體現和尊重了“從實踐到認識，再從認識到實踐”的發展規律，使抽象的理論易于接受和理解，是教學改革中的有益嘗試。

注釋

① R.A. Johnson， Probability and Statistics for Engineers Seventh Edition， Beijing Electron Industry Press， 2005.